Упр.168 ГДЗ Бунимович Булычев 10 класс (Алгебра)

1. Каждый из $$5$$ учеников случайно записывается на один из $$8$$ предложенных факультативов. С какой вероятностью хотя бы двое из них выберут один и тот же факультатив?

Найдём вероятность противоположного события: все пять учеников выбрали разные факультативы.

Первый ученик может выбрать любой факультатив: $$\frac{8}{8}$$.

Второй — любой из оставшихся семи: $$\frac{7}{8}$$.

Третий — один из шести: $$\frac{6}{8}$$.

Четвёртый — один из пяти: $$\frac{5}{8}$$.

Пятый — один из четырёх: $$\frac{4}{8}$$.

Тогда

$$P(\text{все разные})=\frac{8}{8}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{6}{8}\cdot\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{8} =\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{8^4} =\frac{840}{4096} =\frac{105}{512}.$$

Искомая вероятность того, что хотя бы двое выберут один и тот же факультатив:

$$P=1-P(\text{все разные})=1-\frac{105}{512}=\frac{407}{512}.$$

Ответ

$$\frac{407}{512}$$