Проверь себя 10 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Для функции $$f(x)=3x+2x-3$$ найти первообразную, график которой проходит через точку $$M(1;-2)$$.
- Вычислить:
1) $$\int_{1}^{2} 3x^3\,dx$$;
2) $$\int_{2}^{4} \frac{dx}{x^2}$$;
3) $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx$$;
4) $$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin 2x\,dx$$. - Найти площадь фигуры, ограниченной:
1) параболой $$y=x^2+x-6$$ и осью $$Ox$$;
2) графиками функций $$y=x^2+1$$ и $$y=10$$.
1) Найдём производную функции $$F(x)=e^{2x}+x^3-\cos x$$:
$$F'(x)=2e^{2x}+3x^2+\sin x.$$
Получили $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ является первообразной для функции $$f(x)$$ на всей числовой прямой.
Ход решения
2) Для функции $$f(x)=3x^2+2x-3$$ найдём первообразную:
$$F(x)=\int (3x^2+2x-3)\,dx=x^3+x^2-3x+C.$$
Так как график проходит через точку $$M(1;-2)$$, подставим координаты точки:
$$-2=1^3+1^2-3\cdot 1+C,$$
$$-2=-1+C,$$
$$C=-1.$$
Следовательно,
$$F(x)=x^3+x^2-3x-1.$$
3) Вычислим интегралы:
$$\int\limits_{1}^{2} 3x^3\,dx=\frac{3}{4}x^4\Big|_{1}^{2}=\frac{3}{4}(16-1)=\frac{45}{4}.$$
$$\int\limits_{2}^{4}\frac{dx}{x^2}=\int\limits_{2}^{4}x^{-2}\,dx=-x^{-1}\Big|_{2}^{4}=-\frac14+\frac12=\frac14.$$
$$\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{0}^{\pi/2}=1.$$
$$\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\sin 2x\,dx=-\frac12\cos 2x\Big|_{\pi/2}^{\pi}=-\frac12(\cos 2\pi-\cos \pi)=-\frac12(1-(-1))=-1.$$
4) Найдём площадь фигур.
Парабола $$y=x^2+x-6$$ пересекает ось $$Ox$$ в точках:
$$x^2+x-6=0,$$
$$(x+3)(x-2)=0,$$
$$x=-3,\; x=2.$$
На отрезке $$[-3;2]$$ функция отрицательна, поэтому
$$S=\int\limits_{-3}^{2}(6-x-x^2)\,dx.$$
$$S=\left(6x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-3}^{2}=\frac{125}{6}.$$
Графики $$y=x^2+1$$ и $$y=10$$ пересекаются при
$$x^2+1=10,$$
$$x^2=9,$$
$$x=-3,\; x=3.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int\limits_{-3}^{3}\bigl(10-(x^2+1)\bigr)\,dx=\int\limits_{-3}^{3}(9-x^2)\,dx.$$
$$S=\left(9x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-3}^{3}=36.$$
Ответ
1) $$F'(x)=f(x)$$.
2) $$F(x)=x^3+x^2-3x-1.$$
3) $$\frac{45}{4};\ \frac14;\ 1;\ -1.$$
4) $$\frac{125}{6};\ 36.$$
