Проверь себя 5 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Так как $$\cos a=-\frac45$$ и $$\frac{\pi}{2}

Найдём $$\sin a$$:

$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35.$$

Тогда

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac34.$$

И

$$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}.$$

Ответ

$$\sin a=\frac35,\quad \tg a=-\frac34,\quad \cos 2a=\frac{7}{25}.$$

2) Найдём значения выражений:

1. $$\cos 135^\circ=\cos(90^\circ+45^\circ)=-\sin 45^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

2. $$\sin \frac{8\pi}{3}=\sin\left(2\pi+\frac{2\pi}{3}\right)=\sin \frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

3. $$\tg \frac{7\pi}{3}=\tg\left(2\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\tg \frac{\pi}{3}=\sqrt3.$$

4. $$\cos \frac{2\pi}{8}=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Ответ

$$-\frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt3}{2},\ \sqrt3,\ \frac{\sqrt2}{2}.$$

3) Докажем тождества.

1. $$3\cos 2a+\sin^2 a-\cos^2 a=3\cos 2a-(\cos^2 a-\sin^2 a)=3\cos 2a-\cos 2a=2\cos 2a.$$

2. Используем формулу разности синусов:

   $$\sin 5a-\sin 3a=2\cos \frac{5a+3a}{2}\sin \frac{5a-3a}{2}=2\cos 4a\sin a.$$

   Тогда

   $$\frac{\sin 5a-\sin 3a}{2\cos 4a}=\frac{2\cos 4a\sin a}{2\cos 4a}=\sin a.$$

Ответ

Тождества верны.

4) Упростим выражения.

1. $$\sin(a-b)-\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\sin(a-b).$$

   Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\cos a,$$ получаем

   $$\sin(a-b)-\cos a\sin(a-b)=\sin(a-b)(1-\cos a).$$

2. $$\cos^2(\pi-a)-\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-a\right).$$

   Имеем $$\cos(\pi-a)=-\cos a,$$ значит $$\cos^2(\pi-a)=\cos^2 a,$$ а также $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\sin a,$$ значит $$\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\sin^2 a.$$

   Тогда

   $$\cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2a.$$

3. $$2\sin a\sin b+\cos(a+b).$$

   Используем формулу

   $$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.$$

   Тогда

   $$2\sin a\sin b+\cos(a+b)=2\sin a\sin b+\cos a\cos b-\sin a\sin b=\cos a\cos b+\sin a\sin b.$$

   По формуле косинуса разности:

   $$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.$$

Ответ

1) $$\sin(a-b)(1-\cos a);$$ 2) $$\cos 2a;$$ 3) $$\cos(a-b).$$