Проверь себя 3 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Функция $$y=\left(\frac15\right)^x$$ — убывающая, так как $$0<\frac15<1.$$ График проходит через точку $$\left(0;1\right)$$ и при увеличении $$x$$ стремится к нулю.

Функция $$y=5^x$$ — возрастающая, так как $$5>1.$$ График также проходит через точку $$\left(0;1\right)$$ и при увеличении $$x$$ быстро возрастает.

2) Сравним числа:

1. Так как $$\frac15<1$$ и функция $$y=\left(\frac15\right)^x$$ убывает, а $$0{,}2<1{,}2,$$ то

$$\left(\frac15\right)^{0{,}2} > \left(\frac15\right)^{1{,}2}.$$

2. Так как $$5>1$$ и функция $$y=5^x$$ возрастает, а $$-0{,}2>-1{,}2,$$ то

$$5^{-0{,}2} > 5^{-1{,}2}.$$

3) Решим уравнения:

1. $$3^{x+1}=27^{x-1}$$

   $$27=3^3,\quad 3^{x+1}=3^{3(x-1)}$$

   $$x+1=3x-3$$

   $$2x=4,\quad x=2.$$

2. $$0{,}2^{x^2+4x-5}=1$$

   Так как $$0{,}2\neq 1,$$ то показатель равен нулю:

   $$x^2+4x-5=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=36$$

   $$x=\frac{-4\pm 6}{2}$$

   $$x_1=1,\quad x_2=-5.$$

3. $$2^{x+3}-2^{x+1}=12$$

   $$2^{x+1}(2^2-1)=12$$

   $$3\cdot 2^{x+1}=12$$

   $$2^{x+1}=4=2^2$$

   $$x+1=2,\quad x=1.$$

4. $$4\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x+1=0$$

   Положим $$t=2^x,$$ тогда $$t>0$$ и получаем:

   $$4t^2-5t+1=0$$

   $$D=25-16=9$$

   $$t=\frac{5\pm 3}{8}$$

   $$t_1=1,\quad t_2=\frac14.$$

   Тогда

   $$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$

   $$2^x=\frac14=2^{-2} \Rightarrow x=-2.$$

4) Решим неравенства:

1. $$7^{x-2}>49$$

   $$49=7^2,\quad 7^{x-2}>7^2$$

   Так как $$7>1,$$ получаем:

   $$x-2>2,\quad x>4.$$

2. $$0{,}5^{x^2-2}\ge \frac14$$

   $$0{,}5=\frac12,\quad \frac14=\left(\frac12\right)^2$$

   Тогда

   $$\left(\frac12\right)^{x^2-2}\ge \left(\frac12\right)^2.$$

   Так как $$0<\frac12<1,$$ функция убывает, значит

   $$x^2-2\le 2$$

   $$x^2\le 4$$

   $$-2\le x\le 2.$$

Ответ: 1) $$y=\left(\frac15\right)^x$$ — убывающая, $$y=5^x$$ — возрастающая; 2) $$\left(\frac15\right)^{0{,}2} > \left(\frac15\right)^{1{,}2},\; 5^{-0{,}2} > 5^{-1{,}2};$$ 3) $$x=2;\; x=1,-5;\; x=1;\; x=0,-2;$$ 4) $$x>4;\; -2\le x\le 2.$$