Проверь себя 2 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- 1) $$y=3(x-1)^{-3}$$;
2) $$y=\sqrt[4]{x^2-3x-4}$$. - Построить график функции:
1) $$y=\sqrt[3]{x+1}$$;
2) $$y=2x^{-2}$$;
3) $$y=\frac{x^4}{2}$$.
Для каждой функции указать область определения и значения $$x$$, при которых $$y>0$$. - Решить уравнение:
1) $$\sqrt[3]{x-3}=5$$;
2) $$\sqrt{3-x-x^2}=x$$.
1) Найдём область определения функций.
1. $$y=3(x-1)^{-3}=\frac{3}{(x-1)^3}.$$
Знаменатель не должен быть равен нулю, значит $$x\ne 1.$$
Следовательно, $$D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
2. $$y=\sqrt[4]{x^2-3x-4}.$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$x^2-3x-4\ge 0$$
$$\left(x-4\right)\left(x+1\right)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\in(-\infty;-1]\cup[4;+\infty).$$
2) Построим графики и укажем область определения и значения $$x$$, при которых $$y>0$$.
1. $$y=\sqrt[3]{x+1}.$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$
Так как кубический корень сохраняет знак выражения под корнем, то
$$y>0 \iff x+1>0 \iff x>-1.$$
2. $$y=2x^{-2}=\frac{2}{x^2}.$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$
Поскольку $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, то
$$y>0 \text{ при всех } x\ne 0.$$
3. $$y=\frac{x^4}{2}.$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$
Так как $$x^4\ge 0$$, то
$$y>0 \iff x\ne 0.$$
3) Решим уравнения.
1. $$\sqrt[3]{x-3}=5.$$
Возведём обе части в куб:
$$x-3=125,$$
$$x=128.$$
2. $$\sqrt{3-x-x^2}=x.$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$x\ge 0.$$ Возведём обе части в квадрат:
$$3-x-x^2=x^2,$$
$$2x^2+x-3=0,$$
$$x=\frac{-1\pm 5}{4}.$$
Получаем $$x=1$$ или $$x=-\frac{3}{2}.$$
С учётом условия $$x\ge 0$$ подходит только $$x=1.$$
Ответ: 1) $$(-\infty;1)\cup(1;+\infty),\; (-\infty;-1]\cup[4;+\infty).$$ 2) $$D=\mathbb{R},\ y>0 \text{ при } x>-1;\quad D=\mathbb{R}\setminus\{0\},\ y>0 \text{ при } x\ne 0;\quad D=\mathbb{R},\ y>0 \text{ при } x\ne 0.$$ 3) $$x=128;\ x=1.$$
