Проверь себя 1 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Упростить выражение:
- Сократить дробь.
- Сравнить числа.
- Упростить выражение $$((\text{корень 3 степени}+a)+(\text{корень 3 степени}+b))^2-((\text{корень 3 степени}+a)-(\text{корень 3 степени}+b))^2$$.
$$\frac{15^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{2}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}} =15^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{2}{3}}\cdot 5^{\frac{1}{3}}$$
$$15^{\frac{2}{3}}=(3\cdot 5)^{\frac{2}{3}}=3^{\frac{2}{3}}5^{\frac{2}{3}}$$
$$3^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{2}{3}}=3^{\frac{4}{3}},\qquad 5^{\frac{2}{3}}\cdot 5^{\frac{1}{3}}=5$$
$$3^{\frac{4}{3}}\cdot 5=3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 5=15\sqrt[3]{3}$$
$$\left(\frac45\right)^{-2}-\left(\frac1{27}\right)^{\frac13}+4\cdot 3^{79^\circ}\cdot \left(\frac54\right)^2$$
$$\left(\frac45\right)^{-2}=\left(\frac54\right)^2=\frac{25}{16},\qquad \left(\frac1{27}\right)^{\frac13}=\frac13,\qquad 3^{79^\circ}=1$$
$$\frac{25}{16}-\frac13+4\cdot \frac{25}{16} =\frac{25}{16}-\frac{16}{48}+\frac{75}{48} =\frac{59}{48}+4 =\frac{251}{48}$$
$$\left(\sqrt[3]{128}+\sqrt[3]{\frac14}\right):\sqrt[3]{2}$$
$$\sqrt[3]{128}=4\sqrt[3]{2},\qquad \sqrt[3]{\frac14}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$$
Удобнее разделить каждое слагаемое на $$\sqrt[3]{2}$$:
$$\frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}}+\frac{\sqrt[3]{\frac14}}{\sqrt[3]{2}} =\sqrt[3]{64}+\sqrt[3]{\frac18}=4+\frac12=\frac92$$$$\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}}\cdot \sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}} =\sqrt[3]{\frac{a^6b^3}{c^3}} =\frac{a^2b}{c}$$
$$a^{-3}\cdot a^{\frac73}=a^{-\frac23}$$
$$\frac{a-9a^{\frac12}}{7a^{\frac14}+27}$$
Вынесем $$a^{\frac14}$$ в числителе:
$$a-9a^{\frac12}=a^{\frac14}\left(a^{\frac34}-9a^{\frac14}\right)$$В знаменателе:
$$7a^{\frac14}+27=7\left(a^{\frac14}+3\right)$$Тогда
$$\frac{a-9a^{\frac12}}{7a^{\frac14}+27} =\frac{a^{\frac14}\left(a^{\frac34}-9a^{\frac14}\right)}{7\left(a^{\frac14}+3\right)}$$$$\left(\sqrt[5]{\left(\frac29\right)^3}-\sqrt[5]{\left(\frac14\right)^3}\right)^2$$
Так как $$\frac29<\frac14$$, то
$$\sqrt[5]{\left(\frac29\right)^3}<\sqrt[5]{\left(\frac14\right)^3}$$Следовательно, выражение в скобках отрицательно, а его квадрат неотрицателен:
$$\left(\sqrt[5]{\left(\frac29\right)^3}-\sqrt[5]{\left(\frac14\right)^3}\right)^2\ge 0$$$$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)^2-\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2$$
Используем формулу разности квадратов:
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$Тогда
$$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)^2-\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2 =\left(2\sqrt[3]{b}\right)\left(2\sqrt[3]{a}\right) =4\sqrt[3]{ab}$$
