Проверь себя 10 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2 Для функции f (x) = Зх + 2х — 3 найти первообразную, график которой проходит через точку М (1; -2).
3 Вычислить:
1) интеграл (1;2) 3x3dx;
2) интеграл (2;4) dx/x2;
3) интеграл (0;пи/2) cosxdx;
4) интеграл (пи/2;пи) sin2xdx;
4 Найти площадь фигуры, ограниченной:
1) параболой у = х2 + х — 6 и осью Ох;
2) графиками функций у = х2 + 1 и у = 10.

Подробный ответ

Найдём производную функции $$F(x)=e^{2x}+x^3-\cos x$$:
$$F'(x)=2e^{2x}+3x^2+\sin x.$$
Так как $$F'(x)=f(x),$$ то функция $$F(x)$$ является первообразной для функции $$f(x)$$ на всей числовой прямой.
Ищем первообразную для функции $$f(x)=3x^2+2x-3$$ в виде:
$$F(x)=x^3+x^2-3x+C.$$
Подставим точку $$M(1;-2)$$:
$$-2=1+1-3+C,$$
$$C=-1.$$
Следовательно,
$$F(x)=x^3+x^2-3x-1.$$
Вычислим интегралы:
1) $$\int\limits_{1}^{2} 3x^3\,dx=\frac{3}{4}x^4\Big|_{1}^{2}=\frac{3}{4}(16-1)=\frac{45}{4}=11\frac{1}{4}.$$
2) $$\int\limits_{2}^{4}\frac{dx}{x^2}=\int\limits_{2}^{4}x^{-2}\,dx=-x^{-1}\Big|_{2}^{4}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.$$
3) $$\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{0}^{\pi/2}=1.$$
4) $$\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\sin 2x\,dx=-\frac{1}{2}\cos 2x\Big|_{\pi/2}^{\pi}=-\frac{1}{2}\bigl(\cos 2\pi-\cos \pi\bigr)=-\frac{1}{2}(1-(-1))=-1.$$
1) Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой $$y=x^2+x-6$$ и осью $$Ox$$.
Точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$x^2+x-6=0,$$
$$ (x+3)(x-2)=0,$$
$$x=-3,\; x=2.$$
На отрезке $$[-3;2]$$ парабола расположена ниже оси $$Ox$$, поэтому
$$S=\int\limits_{-3}^{2}-(x^2+x-6)\,dx=\int\limits_{-3}^{2}(6-x^2-x)\,dx.$$
$$S=\left(6x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{-3}^{2}=\frac{125}{6}.$$
2) Найдём площадь фигуры, ограниченной графиками $$y=x^2+1$$ и $$y=10$$.
Точки пересечения:
$$x^2+1=10,$$
$$x^2=9,$$
$$x=-3,\; x=3.$$
Тогда
$$S=\int\limits_{-3}^{3}\bigl(10-(x^2+1)\bigr)\,dx=\int\limits_{-3}^{3}(9-x^2)\,dx.$$
$$S=\left(9x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-3}^{3}=36.$$