Проверь себя 9 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти точки экстремума функции $$y=\frac{x}{3}+\frac{3}{x}$$.
- Построить график функции:
1) $$y=2x^4-x^2+1$$;
2) $$y=x^3-3x$$. - Функция $$y=x+\frac{4}{x}$$ непрерывна на отрезке $$[1;5]$$. Найти наибольшее и наименьшее значения.
- Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м, а высота 3 м. Какой длины должны быть стороны основания, чтобы объём параллелепипеда был наибольшим?
Найдём производную:
$$y’=6-6x^2=6(1-x^2).$$
Критические точки:
$$6(1-x^2)=0 \Rightarrow x=\pm 1.$$
Исследуем знак производной:
при $$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$ имеем $$y'<0,$$ значит функция убывает;
при $$x\in(-1;1)$$ имеем $$y’>0,$$ значит функция возрастает.
Ответ: возрастает на $$(-1;1),$$ убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=\frac13-\frac{3}{x^2}, \qquad x\ne 0.$$
Критические точки:
$$\frac13-\frac{3}{x^2}=0 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3.$$
Исследуем знак производной:
при $$x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$$ имеем $$y’>0,$$ значит функция возрастает;
при $$x\in(-3;0)\cup(0;3)$$ имеем $$y'<0,$$ значит функция убывает.
Следовательно, в точке $$x=-3$$ — максимум, а в точке $$x=3$$ — минимум.
Найдём значения функции:
$$y(-3)=-1-1=-2,$$
$$y(3)=1+1=2.$$
Ответ: точка максимума $$(-3;-2),$$ точка минимума $$(3;2).$$
1) $$y=2x^4-x^2+1.$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$y’=8x^3-2x=2x(4x^2-1)=2x\left(2x-1\right)\left(2x+1\right).$$
Критические точки:
$$x=-\frac12,\;0,\;\frac12.$$
Знаки производной:
$$y'<0 \text{ на } (-\infty;-\tfrac12)\cup(0;\tfrac12),$$
$$y’>0 \text{ на } (-\tfrac12;0)\cup(\tfrac12;+\infty).$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-\tfrac12)\cup(0;\tfrac12),$$ возрастает на $$(-\tfrac12;0)\cup(\tfrac12;+\infty).$$
Найдём значения в критических точках:
$$y(0)=1,$$
$$y\left(\pm\frac12\right)=2\cdot\frac{1}{16}-\frac14+1=\frac18-\frac14+1=\frac78.$$
Для построения графика удобно отметить точки $$\left(0;1\right), \left(\pm\frac12;\frac78\right).$$ График симметричен относительно оси $$Oy.$$
2) $$y=x^3-3x.$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$
Критические точки:
$$x=-1,\;1.$$
Знаки производной:
$$y’>0 \text{ на } (-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$
$$y'<0 \text{ на } (-1;1).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$ убывает на $$(-1;1).$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$y(-1)=-1+3=2,$$
$$y(1)=1-3=-2,$$
$$y(0)=0.$$
Для построения графика отметим точки $$(-1;2), (0;0), (1;-2).$$
Функция $$y=x+\frac{4}{x}$$ непрерывна на $$[1;5].$$ Найдём её наибольшее и наименьшее значения.
$$y’=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}.$$
Критическая точка на отрезке:
$$x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2,$$
на отрезке $$[1;5]$$ подходит только $$x=2.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(1)=1+4=5,$$
$$y(2)=2+2=4,$$
$$y(5)=5+\frac45=\frac{29}{5}.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$5,$$ наименьшее — $$4.$$
Ответ: $$y_{\max}=5,$$ $$y_{\min}=4.$$
Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $$x$$ и $$4-x,$$ так как периметр основания равен $$8$$ м:
$$2(x+(4-x))=8.$$
Объём при высоте $$3$$ м:
$$V=3x(4-x).$$
Это квадратичная функция, ветви направлены вниз, значит максимум достигается в вершине параболы:
$$V(x)=3(4x-x^2)=-3x^2+12x.$$
$$x=\frac{-12}{2\cdot(-3)}=2.$$
Тогда вторая сторона основания:
$$4-2=2.$$
Ответ: стороны основания должны быть по $$2$$ м и $$2$$ м.
