Проверь себя 8 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- 2. Найти производную функции:
1) $$\frac{3}{x}+2\sqrt{x}-e^x$$;
2) $$(3x-5)^4$$;
3) $$3\sin 2x\cos x$$;
4) $$\frac{x^3}{x^2+5}$$. - 3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=\cos 3x$$ в точке с абсциссой $$x_0=\frac{\pi}{6}$$.
- 4. Найти угол между касательной к графику функции $$y=x^4-2x^3+3$$ в точке с абсциссой $$x_0=\frac{1}{2}$$ и осью $$Ox$$.
$$f(x)=3x^3+4x-1$$
Найдём производную:
$$f'(x)=9x^2+4$$
В точке $$x=3$$:
$$f'(3)=9\cdot 3^2+4=9\cdot 9+4=85$$
$$\left(\frac{3}{x}+2\sqrt{x}-e^x\right)’=-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}-e^x$$
$$\bigl((3x-5)^4\bigr)’=4(3x-5)^3\cdot 3=12(3x-5)^3$$
$$\bigl(3\sin 2x\cos x\bigr)’=3\bigl(2\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x\bigr)$$
$$=6\cos 2x\cos x-3\sin 2x\sin x$$
$$\left(\frac{x^3}{x^2+5}\right)’=\frac{3x^2(x^2+5)-x^3\cdot 2x}{(x^2+5)^2}$$
$$=\frac{3x^4+15x^2-2x^4}{(x^2+5)^2}=\frac{x^4+15x^2}{(x^2+5)^2}=\frac{x^2(x^2+15)}{(x^2+5)^2}$$
$$y=\cos 3x$$
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке $$x_0=\frac{\pi}{6}$$:
$$y’=-3\sin 3x$$
$$k=y’\left(\frac{\pi}{6}\right)=-3\sin\frac{\pi}{2}=-3$$
$$y=x^4-2x^3+3$$
Найдём производную:
$$y’=4x^3-6x^2$$
При $$x_0=\frac12$$:
$$k=y’\left(\frac12\right)=4\cdot\left(\frac12\right)^3-6\cdot\left(\frac12\right)^2=\frac12-\frac32=-1$$
Угол наклона касательной к положительному направлению оси $$Ox$$ удовлетворяет равенству $$\tan\alpha=k$$, значит
$$\tan\alpha=-1$$
Подходит угол $$\alpha=\frac{3\pi}{4}$$.
Ответ: 1) $$85$$; 2) $$-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}-e^x$$, $$12(3x-5)^3$$, $$6\cos 2x\cos x-3\sin 2x\sin x$$, $$\frac{x^2(x^2+15)}{(x^2+5)^2}$$; 3) $$-3$$; 4) $$\frac{3\pi}{4}$$.
