Проверь себя 7 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2. Построить графики функций $$y=\sin x$$, $$y=\cos x$$ на отрезке $$[-\pi; 2\pi]$$. Для каждой из этих функций найти значения $$x$$ из данного отрезка, при которых $$y(x)=1$$, $$y(x)=-1$$, $$y(x)=0$$, $$y(x)>0$$, $$y(x)<0$$.
3. Построить схематически график функции $$y=\mathrm{tg}\,x$$ на отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$. Найти значения $$x$$, при которых $$\mathrm{tg}\,x=0$$, $$\mathrm{tg}\,x<0$$, $$\mathrm{tg}\,x>0$$ на данном отрезке.

1) Для функции $$y=\tg 4x$$ область определения задаётся условием, что знаменатель не равен нулю:

$$\cos 4x \ne 0.$$

Значит,

$$4x \ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x \ne \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4},\quad k\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}\mid k\in\mathbb Z\right\}.$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=\tg(-4x)=-\tg 4x=-y(x).$$

Функция нечётная.

Ответ

$$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}\mid k\in\mathbb Z\right\},$$ функция нечётная.

Решение

2) Рассмотрим функции $$y=\sin x$$ и $$y=\cos x$$ на отрезке $$[-\pi;2\pi].$$

Для $$y=\sin x$$:

$$\sin x=1 \iff x=\frac{\pi}{2}.$$

$$\sin x=-1 \iff x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.$$

$$\sin x=0 \iff x=-\pi,\ 0,\ \pi,\ 2\pi.$$

$$\sin x>0 \iff x\in(0;\pi).$$

$$\sin x<0 \iff x\in(-\pi;0)\cup(\pi;2\pi).$$

Для $$y=\cos x$$:

$$\cos x=1 \iff x=0,\ 2\pi.$$

$$\cos x=-1 \iff x=-\pi,\ \pi.$$

$$\cos x=0 \iff x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.$$

$$\cos x>0 \iff x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right).$$

$$\cos x<0 \iff x\in\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right).$$

Ответ

Для $$y=\sin x$$: $$1$$ при $$x=\frac{\pi}{2}$$; $$-1$$ при $$x=-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$$; $$0$$ при $$x=-\pi,0,\pi,2\pi$$; $$>0$$ при $$x\in(0;\pi)$$; $$<0$$ при $$x\in(-\pi;0)\cup(\pi;2\pi).$$

Для $$y=\cos x$$: $$1$$ при $$x=0,2\pi$$; $$-1$$ при $$x=-\pi,\pi$$; $$0$$ при $$x=-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$$; $$>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right)$$; $$<0$$ при $$x\in\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right).$$

Решение

3) На отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция $$y=\tg x$$ имеет вертикальные асимптоты при

$$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}.$$

График состоит из трёх ветвей и проходит через точки $$\left(-\pi,0\right)$$ и $$\left(0,0\right).$$

Найдём знаки функции:

$$\tg x=0 \iff x=-\pi,\ 0.$$

$$\tg x<0 \iff x\in\left(-\frac{3\pi}{2};-\pi\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2};0\right).$$

$$\tg x>0 \iff x\in\left(-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$

Ответ

$$\tg x=0$$ при $$x=-\pi,\ 0.$$

$$\tg x<0$$ при $$x\in\left(-\frac{3\pi}{2};-\pi\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2};0\right).$$

$$\tg x>0$$ при $$x\in\left(-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$