Проверь себя 6 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\arccos 1+\arcsin 0$$; $$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{\arcsin\left(\sqrt{3}\right)}{2}$$.
2. Решить уравнение:
   1. $$\sin 3x\cos x-\sin x\cos 3x=1$$;
   2. $$2\cos 2x+5\cos x=3$$;
   3. $$\operatorname{tg}x-3\operatorname{ctg}x=0$$;
   4. $$\sin 3x-\sin x=0$$;
   5. $$2\sin x+\sin 2x=0$$.

1) Вычислим значения выражений:

$$\arccos 1+\arcsin 0=0+0=0$$

$$\arccos\left(-\frac12\right)-\arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$$

Ход решения

2) Решим уравнения.

1. $$\sin 3x\cos x-\sin x\cos 3x=1$$

   По формуле синуса разности:
   $$\sin 3x\cos x-\sin x\cos 3x=\sin(3x-x)=\sin 2x$$

   Тогда
   $$\sin 2x=1$$
   $$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$2\cos^2 x+5\cos x=3$$

   Обозначим $$t=\cos x$$. Тогда
   $$2t^2+5t-3=0$$
   $$D=25+24=49$$
   $$t_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}$$

   $$t_1=\frac12,\quad t_2=-3$$

   Так как $$\cos x\in[-1;1]$$, значение $$t=-3$$ не подходит. Остаётся:
   $$\cos x=\frac12$$
   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$\tg x-3\ctg x=0$$

   $$\tg x=3\ctg x$$
   $$\tg^2 x=3$$
   $$\tg x=\pm\sqrt3$$

   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. $$\sin 3x-\sin x=0$$

   По формуле разности синусов:
   $$\sin 3x-\sin x=2\cos 2x\sin x$$

   Тогда
   $$2\cos 2x\sin x=0$$
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   2) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z$$

5. $$2\sin x+\sin 2x=0$$

   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
   $$2\sin x+2\sin x\cos x=0$$
   $$2\sin x(1+\cos x)=0$$

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 1+\cos x=0$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   2) $$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Второе множество входит в первое, поэтому общий ответ:
   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$0$$, $$\frac{\pi}{3}$$;
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$; $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$; $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$; $$x=\pi n$$; $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$.