Упр.998 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти одну из первообразных функции:

1. $$\frac{x}{x-3}$$;
2. $$\frac{x-1}{x^2+x-2}$$;
3. $$\cos^2 x$$;
4. $$\sin 3x\cos 5x$$.

1. $$\frac{x}{x-3}=\frac{x-3+3}{x-3}=1+\frac{3}{x-3}.$$

   Тогда одна из первообразных:

   $$F(x)=\int \left(1+\frac{3}{x-3}\right)\,dx=x+3\ln|x-3|+C.$$

2. $$\frac{x-1}{x^2+x-2}=\frac{x-1}{(x+2)(x-1)}=\frac{1}{x+2}, \quad x\ne 1,\; x\ne -2.$$

   Тогда одна из первообразных:

   $$F(x)=\int \frac{1}{x+2}\,dx=\ln|x+2|+C.$$

3. $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$$

   Тогда одна из первообразных:

   $$F(x)=\int \cos^2 x\,dx=\frac{1}{2}\int (1+\cos 2x)\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C.$$

4. $$\sin 3x\cdot \cos 5x=\frac{1}{2}\bigl(\sin(3x+5x)+\sin(3x-5x)\bigr)=\frac{1}{2}(\sin 8x-\sin 2x).$$

   Тогда одна из первообразных:

   $$F(x)=\int \sin 3x\cos 5x\,dx=\frac{1}{2}\int (\sin 8x-\sin 2x)\,dx=\frac{4\cos 2x-\cos 8x}{16}+C.$$