Упр.992 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Для функции $$f(x)$$ найти первообразную, график которой проходит через точку $$M$$:

1. 1. $$f(x)=2x+3$$, $$M(1;2)$$;
   2. $$f(x)=4x-1$$, $$M(-1;3)$$;
   3. $$f(x)=\sin 2x$$, $$M\left(\frac{\pi}{2};5\right)$$;
   4. $$f(x)=\cos 3x$$, $$M(0;0)$$.

1) $$f(x)=2x+3$$

Найдём первообразную:

$$F(x)=\int (2x+3)\,dx=x^2+3x+C.$$

Так как график проходит через точку $$M(1;2),$$ то

$$2=1^2+3\cdot 1+C,$$

$$2=4+C,$$

$$C=-2.$$

Следовательно,

$$F(x)=x^2+3x-2.$$

2) $$f(x)=4x-1$$

Найдём первообразную:

$$F(x)=\int (4x-1)\,dx=2x^2-x+C.$$

Так как график проходит через точку $$M(-1;3),$$ то

$$3=2\cdot(-1)^2-(-1)+C,$$

$$3=2+1+C,$$

$$C=0.$$

Следовательно,

$$F(x)=2x^2-x.$$

3) $$f(x)=\sin 2x$$

Найдём первообразную:

$$F(x)=\int \sin 2x\,dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C.$$

Так как график проходит через точку $$M\left(\frac{\pi}{2};5\right),$$ то

$$5=-\frac{1}{2}\cos \pi + C,$$

$$5=\frac{1}{2}+C,$$

$$C=\frac{9}{2}.$$

Следовательно,

$$F(x)=\frac{9-\cos 2x}{2}.$$

4) $$f(x)=\cos 3x$$

Найдём первообразную:

$$F(x)=\int \cos 3x\,dx=\frac{1}{3}\sin 3x+C.$$

Так как график проходит через точку $$M(0;0),$$ то

$$0=\frac{1}{3}\sin 0+C,$$

$$C=0.$$

Следовательно,

$$F(x)=\frac{1}{3}\sin 3x.$$

Ответ

1) $$F(x)=x^2+3x-2$$; 2) $$F(x)=2x^2-x$$; 3) $$F(x)=\frac{9-\cos 2x}{2}$$; 4) $$F(x)=\frac{1}{3}\sin 3x$$.