Упр.990 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$(x+4)^4$$
2. $$(x-2)^3$$
3. $$\frac{2}{\sqrt{x-2}}$$
4. $$\frac{3}{\sqrt[3]{x+3}}$$
5. $$\frac{1}{x-1}+4\cos(x+2)$$
6. $$\frac{3}{x-3}-2\sin(x-1)$$

1) $$f(x)=(x+1)^4.$$

Тогда одна из первообразных:

$$F(x)=\int (x+1)^4\,dx=\frac{(x+1)^5}{5}+C.$$

2) $$f(x)=(x-2)^3.$$

Тогда одна из первообразных:

$$F(x)=\int (x-2)^3\,dx=\frac{(x-2)^4}{4}+C.$$

3) $$f(x)=\frac{2}{\sqrt{x-2}}=2(x-2)^{-\frac12}.$$

Тогда одна из первообразных:

$$F(x)=\int 2(x-2)^{-\frac12}\,dx=4\sqrt{x-2}+C,\quad x>2.$$

4) $$f(x)=\frac{3}{\sqrt[3]{x+3}}=3(x+3)^{-\frac13}.$$

Тогда одна из первообразных:

$$F(x)=\int 3(x+3)^{-\frac13}\,dx=\frac{9}{2}\sqrt[3]{(x+3)^2}+C.$$

5) $$f(x)=\frac{1}{x-1}+4\cos(x+2).$$

Тогда одна из первообразных:

$$F(x)=\int \left(\frac{1}{x-1}+4\cos(x+2)\right)\,dx=\ln(x-1)+4\sin(x+2)+C,\quad x>1.$$

6) $$f(x)=\frac{3}{x-3}-2\sin(x-1).$$

Тогда одна из первообразных:

$$F(x)=\int \left(\frac{3}{x-3}-2\sin(x-1)\right)\,dx=3\ln(x-3)+2\cos(x-1)+C,\quad x>3.$$

Ответ

1) $$\frac{(x+1)^5}{5}+C$$; 2) $$\frac{(x-2)^4}{4}+C$$; 3) $$4\sqrt{x-2}+C$$; 4) $$\frac{9}{2}\sqrt[3]{(x+3)^2}+C$$; 5) $$\ln(x-1)+4\sin(x+2)+C$$; 6) $$3\ln(x-3)+2\cos(x-1)+C$$.