Упр.987 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Показать, что функция $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)$$ на всей числовой прямой:

1. $$F(x)=3e^{\frac{x}{3}},\quad f(x)=e^{\frac{x}{3}}$$;
2. $$F(x)=\sin 2x,\quad f(x)=2\cos 2x$$.

1) Найдём производную функции $$F(x)=3e^{x/3}$$:

$$F'(x)=\left(3e^{x/3}\right)’=3\cdot \left(e^{x/3}\right)’=3\cdot \frac13 e^{x/3}=e^{x/3}=f(x).$$

Значит, $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)$$ на всей числовой прямой.

2) Найдём производную функции $$F(x)=\sin 2x$$:

$$F'(x)=(\sin 2x)’=2\cos 2x=f(x).$$

Значит, $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)$$ на всей числовой прямой.

Ответ: в обоих случаях $$F'(x)=f(x)$$, следовательно, $$F(x)$$ — первообразная функции $$f(x)$$ на $$\mathbb{R}$$.