Упр.986 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Для функции $$f(x)$$ найти первообразную, график которой проходит через точку $$M$$:
   1) $$f(x)=x$$, $$M(-1; 3)$$;
   2) $$f(x)=\sqrt{x}$$, $$M(9; 10)$$.

1. Первообразная для функции $$f(x)=x$$ имеет вид

   $$F(x)=\frac{x^2}{2}+C.$$

   Так как график проходит через точку $$M(-1;3),$$ подставим её координаты:

   $$3=\frac{(-1)^2}{2}+C=\frac12+C.$$

   Отсюда

   $$C=3-\frac12=\frac52.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{x^2}{2}+\frac52.$$

2. Первообразная для функции $$f(x)=\sqrt{x}$$ имеет вид

   $$F(x)=\frac{2}{3}x^{\frac32}+C.$$

   Так как график проходит через точку $$M(9;10),$$ подставим её координаты:

   $$10=\frac{2}{3}\cdot 9^{\frac32}+C.$$

   Вычислим:

   $$9^{\frac32}=(\sqrt{9})^3=3^3=27,$$

   значит

   $$10=\frac{2}{3}\cdot 27+C=18+C.$$

   Отсюда

   $$C=-8.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{2}{3}x^{\frac32}-8=\frac{2x\sqrt{x}}{3}-8.$$

Ответ: 1) $$F(x)=\frac{x^2}{2}+\frac52$$; 2) $$F(x)=\frac{2}{3}x^{\frac32}-8.$$