Упр.984 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Показать, что функция $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)$$ при $$x>0$$:

1. $$F(x)=1$$, $$f(x)=-\frac{2}{x^2}$$;
2. $$F(x)=1+\sqrt{x}$$, $$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.

1) $$F(x)=\frac{2}{x}, \qquad f(x)=-\frac{2}{x^2}.$$

Найдём производную функции $$F(x)$$:

$$F'(x)=\left(\frac{2}{x}\right)’=2\left(\frac{1}{x}\right)’=2\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{2}{x^2}=f(x).$$

Следовательно, $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)$$ при $$x>0$$.

2) $$F(x)=1+\sqrt{x}, \qquad f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Найдём производную функции $$F(x)$$:

$$F'(x)=(1)’+(\sqrt{x})’=0+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}=f(x).$$

Следовательно, $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)$$ при $$x>0$$.

Ответ

1) $$F'(x)=f(x)$$; 2) $$F'(x)=f(x)$$. В обоих случаях $$F(x)$$ — первообразная функции $$f(x)$$ при $$x>0$$.