Упр.983 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Показать, что функция $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)$$ на всей числовой прямой:

1. $$F(x)=\frac{x^6}{6},\quad f(x)=x^5$$;
2. $$F(x)=\frac{x^5}{5}+1,\quad f(x)=x^4$$.

1) $$F(x)=\frac{x^6}{6}, \quad f(x)=x^5.$$

Найдём производную функции $$F(x)$$:

$$F'(x)=\left(\frac{x^6}{6}\right)’=\frac{1}{6}\cdot 6x^5=x^5=f(x).$$

Следовательно, $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)$$ на всей числовой прямой.

2) $$F(x)=\frac{x^5}{5}+1, \quad f(x)=x^4.$$

Найдём производную функции $$F(x)$$:

$$F'(x)=\left(\frac{x^5}{5}+1\right)’=\frac{1}{5}\cdot 5x^4+0=x^4=f(x).$$

Следовательно, $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)$$ на всей числовой прямой.

Ответ: в обоих случаях $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ — первообразная функции $$f(x)$$ на $$\mathbb{R}$$.