Упр.982 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 982 Груз, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть с места силой, приложенной к этому грузу (рис. 149). Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью, при котором величина силы будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен k. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 982 1111

Обозначим через $$\alpha$$ угол между силой и плоскостью, а через $$F$$ — величину приложенной силы.

Разложим силу на составляющие:

$$F_x = F \cos \alpha, \qquad F_y = F \sin \alpha.$$

Так как сила направлена вверх, то нормальная реакция уменьшается, и сила трения равна

$$F_{\text{тр}} = k(mg — F \sin \alpha).$$

По второму закону Ньютона для начала движения:

$$F \cos \alpha = k(mg — F \sin \alpha).$$

Отсюда

$$F(\alpha) = \frac{mg}{\cos \alpha + k \sin \alpha}.$$

Чтобы сила $$F$$ была наименьшей, нужно максимизировать знаменатель $$\cos \alpha + k \sin \alpha$$. Найдём его максимум через производную:

$$ \frac{d}{d\alpha}(\cos \alpha + k \sin \alpha) = -\sin \alpha + k \cos \alpha. $$

Приравниваем производную к нулю:

$$-\sin \alpha + k \cos \alpha = 0,$$

$$k \cos \alpha = \sin \alpha,$$

$$\tan \alpha = k.$$

Следовательно, минимальная сила достигается при угле

$$\alpha = \arctan k.$$

Ответ

$$\alpha = \arctan k.$$