Упр.982 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Груз, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть с места силой, приложенной к этому грузу (рис. 149). Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью, при котором величина силы будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен $$k$$.

Обозначим через $$\alpha$$ угол, который образует сила с плоскостью, а через $$F$$ — величину этой силы.

Разложим силу на составляющие:

$$F_x=F\cos\alpha,\qquad F_y=F\sin\alpha.$$

Так как сила направлена вверх, то нормальная реакция уменьшается на величину $$F\sin\alpha$$, и сила трения равна

$$F_{\text{тр}}=k\bigl(mg-F\sin\alpha\bigr).$$

Чтобы сдвинуть груз, горизонтальная составляющая приложенной силы должна быть равна силе трения:

$$F\cos\alpha=k\bigl(mg-F\sin\alpha\bigr).$$

Отсюда

$$F(\alpha)=\frac{kmg}{\cos\alpha+k\sin\alpha}.$$

Найдём минимум функции $$F(\alpha)$$. Достаточно максимизировать знаменатель

$$u(\alpha)=\cos\alpha+k\sin\alpha.$$

Тогда

$$u'(\alpha)=-\sin\alpha+k\cos\alpha.$$

В точке экстремума

$$-\sin\alpha+k\cos\alpha=0,$$

откуда

$$k\cos\alpha=\sin\alpha,$$

$$\tg\alpha=k.$$

Следовательно, искомый угол

$$\alpha=\arctg k.$$

Ответ

$$\alpha=\arctg k.$$