Упр.981 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Построить график функции:
- 1) $$y=(x^2-1)\sqrt{x+1}$$; 2) $$y=|x|\sqrt[3]{1+3x}$$; 3) $$y=x^2e^{-x}$$; 4) $$y=x^3e^{-x}$$.
1) $$y=(x^2-1)\sqrt{x+1}$$
Область определения: $$x+1\ge 0,\quad D(y)=[-1;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’ = 2x\sqrt{x+1} + (x^2-1)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{4x(x+1)+x^2-1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{5x^2+4x-1}{2\sqrt{x+1}}.$$
Критические точки на области определения получаем из уравнения
$$5x^2+4x-1=0.$$
$$D=4^2-4\cdot 5\cdot(-1)=36,$$
$$x_{1}=\frac{-4-6}{10}=-1,\qquad x_{2}=\frac{-4+6}{10}=\frac15.$$
Значения функции в этих точках:
$$f(-1)=0,\qquad f\!\left(\frac15\right)=\left(\frac1{25}-1\right)\sqrt{\frac65}=-\frac{24\sqrt{30}}{125}.$$
Так как знаменатель $$2\sqrt{x+1}>0$$ при $$x>-1,$$ знак производной определяется числителем $$5x^2+4x-1.$$ Поэтому функция убывает на $$(-1;\frac15)$$ и возрастает на $$\left(\frac15;+\infty\right).$$
Следовательно, при $$x=\frac15$$ достигается минимум.
2) $$y=|x|\sqrt[3]{1+3x}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Рассмотрим отдельно случаи $$x>0$$ и $$x<0$$.
Если $$x>0,$$ то $$|x|=x$$ и
$$y’=\sqrt[3]{1+3x}+x\cdot \frac{1}{\sqrt[3]{(1+3x)^2}} =\frac{1+4x}{\sqrt[3]{(1+3x)^2}}.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x$$ и
$$y’=-\sqrt[3]{1+3x}-x\cdot \frac{1}{\sqrt[3]{(1+3x)^2}} =-\frac{1+4x}{\sqrt[3]{(1+3x)^2}}.$$
Критические точки:
$$1+4x=0 \Rightarrow x=-\frac14,$$
а также $$x=0$$, где производная не существует.
Значения функции:
$$f\!\left(-\frac14\right)=\frac14\sqrt[3]{\frac14}=\frac{1}{4\sqrt[3]{4}},\qquad f(0)=0.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-\frac14)$$ и $$\left(0;+\infty\right),$$ убывает на $$\left(-\frac14;0\right).$$
Следовательно, $$x=-\frac14$$ — точка максимума, а $$x=0$$ — точка минимума.
3) $$y=x^2e^{-x}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’ = 2xe^{-x}-x^2e^{-x}=e^{-x}(2x-x^2)=e^{-x}x(2-x).$$
Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x,$$ то
$$y’=0 \iff x=0 \text{ или } x=2.$$
Значения функции:
$$f(0)=0,\qquad f(2)=\frac{4}{e^2}.$$
Функция убывает на $$(-\infty;0),$$ возрастает на $$(0;2),$$ убывает на $$(2;+\infty).$$
Следовательно, $$x=0$$ — точка минимума, $$x=2$$ — точка максимума.
Горизонтальная асимптота при $$x\to +\infty$$: $$y=0.$$
4) $$y=x^3e^{-x}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’ = 3x^2e^{-x}-x^3e^{-x}=e^{-x}(3x^2-x^3)=e^{-x}x^2(3-x).$$
Критические точки:
$$e^{-x}x^2(3-x)=0 \iff x=0 \text{ или } x=3.$$
Значения функции:
$$f(0)=0,\qquad f(3)=\frac{27}{e^3}.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;3)$$ и убывает на $$(3;+\infty).$$
Следовательно, $$x=3$$ — точка максимума.
Горизонтальная асимптота при $$x\to +\infty$$: $$y=0.$$
