Упр.979 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 979 Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямоугольного параллелепипеда с площадью поверхности 2S. Каковы должны быть длина и ширина кузова, чтобы его объём был наибольшим, а отношение длины к ширине равнялось 5/2? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 979 1111

Пусть длина кузова равна $$a$$, ширина — $$b$$, высота — $$h$$. По условию

$$\frac{a}{b}=\frac{5}{2},$$

значит, можно положить

$$a=5k,\qquad b=2k.$$

Площадь поверхности открытого кузова равна площади дна и четырёх боковых стенок:

$$S_{\text{пов}}=ab+2ah+2bh.$$

Подставим $$a=5k$$ и $$b=2k$$:

$$2S=10k^2+2\cdot 5k\cdot h+2\cdot 2k\cdot h=10k^2+14kh.$$

Отсюда

$$h=\frac{2S-10k^2}{14k}.$$

Объём кузова:

$$V=abh=5k\cdot 2k\cdot \frac{2S-10k^2}{14k}=\frac{5}{7}\left(2Sk-10k^3\right).$$

Найдём максимум функции $$V(k)$$:

$$V'(k)=\frac{5}{7}\left(2S-30k^2\right).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$\frac{5}{7}\left(2S-30k^2\right)=0,$$

$$2S-30k^2=0,$$

$$k^2=\frac{S}{15},$$

$$k=\sqrt{\frac{S}{15}}.$$

Тогда

$$a=5k=5\sqrt{\frac{S}{15}},\qquad b=2k=2\sqrt{\frac{S}{15}}.$$

Ответ

$$a=5\sqrt{\frac{S}{15}},\qquad b=2\sqrt{\frac{S}{15}}.$$