Упр.978 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 978 Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен р, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 978 1111

Подробный ответ

Пусть радиус основания цилиндра равен $$r$$, а высота — $$h$$. Тогда осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2r$$ и $$h$$, поэтому его периметр равен

$$2(2r+h)=p,$$

откуда

$$h=\frac{p}{2}-2r.$$

Объём цилиндра:

$$V(r)=\pi r^2h=\pi r^2\left(\frac{p}{2}-2r\right)=\frac{\pi p}{2}r^2-2\pi r^3.$$

Найдём максимум этой функции при $$0<r<\frac{p}{4}$$:

$$V'(r)=\pi pr-6\pi r^2=\pi r(p-6r).$$

Критические точки:

$$\pi r(p-6r)=0 \Rightarrow r=0 \text{ или } r=\frac{p}{6}.$$

При $$r=\frac{p}{6}$$ получаем максимум, так как на концах допустимого промежутка объём равен нулю.

Тогда

$$h=\frac{p}{2}-2\cdot\frac{p}{6}=\frac{p}{6}.$$