Упр.977 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти наибольший из объёмов всех пирамид, у каждой из которых высота равна $$12$$, а основанием является прямоугольный треугольник с гипотенузой $$4$$.

Пусть катеты основания прямоугольного треугольника равны $$x$$ и $$y$$, тогда по условию

$$x^2+y^2=4^2=16.$$

Объём пирамиды равен

$$V=\frac13Sh,$$

где $$h=12$$ — постоянная величина, значит нужно найти наибольшую площадь основания $$S$$.

Для прямоугольного треугольника

$$S=\frac12xy.$$

Из условия $$y=\sqrt{16-x^2}$$, поэтому

$$S(x)=\frac12x\sqrt{16-x^2}, \qquad 0\le x\le 4.$$

Найдём максимум функции $$S(x)$$:

$$S'(x)=\frac12\left(\sqrt{16-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{16-x^2}}\right) =\frac{16-2x^2}{2\sqrt{16-x^2}}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$16-2x^2=0,$$

$$x^2=8,$$

$$x=2\sqrt2.$$

Тогда

$$y=\sqrt{16-8}=2\sqrt2,$$

и площадь основания максимальна:

$$S_{\max}=\frac12\cdot 2\sqrt2\cdot 2\sqrt2=4.$$

Следовательно, наибольший объём пирамиды равен

$$V_{\max}=\frac13\cdot 4\cdot 12=16.$$

Ответ: $$16$$.