Упр.976 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг радиуса $$R$$ так, что одна сторона прямоугольника лежит на диаметре полукруга, выбран тот, у которого наибольшая площадь. Найти эту площадь.

Пусть $$a$$ — высота прямоугольника, а $$b$$ — половина его основания. Тогда по теореме Пифагора

$$a^2+b^2=R^2,$$

откуда

$$b=\sqrt{R^2-a^2}.$$

Площадь прямоугольника равна

$$S(a)=2ab=2a\sqrt{R^2-a^2}.$$

Найдём максимум этой функции:

$$S'(a)=2\sqrt{R^2-a^2}+2a\cdot \frac{-2a}{2\sqrt{R^2-a^2}}$$

$$S'(a)=2\sqrt{R^2-a^2}-\frac{2a^2}{\sqrt{R^2-a^2}}$$

$$S'(a)=\frac{2(R^2-2a^2)}{\sqrt{R^2-a^2}}.$$

Критическая точка определяется из уравнения

$$R^2-2a^2=0,$$

$$a=\frac{R}{\sqrt2}.$$

Тогда

$$S_{\max}=2\cdot \frac{R}{\sqrt2}\cdot \sqrt{R^2-\frac{R^2}{2}}=2\cdot \frac{R}{\sqrt2}\cdot \frac{R}{\sqrt2}=R^2.$$

Ответ

$$R^2$$