Упр.974 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 974 Сумма диагоналей параллелограмма равна а. Найти наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 974 1111

Обозначим длины сторон параллелограмма через $$x$$ и $$y$$, а его диагонали — через $$d_1$$ и $$d_2$$. Тогда по свойству параллелограмма

$$d_1^2+d_2^2=2(x^2+y^2).$$

По условию $$d_1+d_2=a$$. Нужно найти наименьшее значение суммы квадратов всех сторон:

$$2x^2+2y^2=2(x^2+y^2).$$

Обозначим $$s=x^2+y^2$$. Тогда

$$d_1^2+d_2^2=2s,$$

а при фиксированной сумме $$d_1+d_2=a$$ величина $$d_1^2+d_2^2$$ минимальна, когда $$d_1=d_2$$. Действительно,

$$d_1^2+d_2^2 \ge \frac{(d_1+d_2)^2}{2}=\frac{a^2}{2}.$$

Следовательно,

$$2(x^2+y^2)=d_1^2+d_2^2 \ge \frac{a^2}{2}.$$

Значит, наименьшее значение суммы квадратов всех сторон равно

$$2(x^2+y^2)=\frac{a^2}{2}.$$

Равенство достигается при $$d_1=d_2=\frac{a}{2}$$, то есть для прямоугольника.

Ответ

$$\frac{a^2}{2}$$