Упр.974 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Сумма диагоналей параллелограмма равна $$a$$. Найти наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон.

Обозначим длины сторон параллелограмма через $$x$$ и $$y$$, а его диагонали — через $$d_1$$ и $$d_2$$. По условию

$$d_1+d_2=a.$$

Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна

$$2x^2+2y^2=2(x^2+y^2).$$

Для параллелограмма верно соотношение между диагоналями и сторонами:

$$d_1^2+d_2^2=2(x^2+y^2).$$

Значит, нужно найти наименьшее значение величины $$d_1^2+d_2^2$$ при фиксированной сумме $$d_1+d_2=a$$.

По неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным:

$$\frac{d_1^2+d_2^2}{2}\ge \left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2,$$

откуда

$$d_1^2+d_2^2\ge \frac{a^2}{2}.$$

Равенство достигается при $$d_1=d_2=\frac{a}{2}$$. Следовательно, наименьшее значение суммы квадратов всех сторон параллелограмма равно

$$\frac{a^2}{2}.$$

Ответ: $$\frac{a^2}{2}$$.