Упр.973 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна $$40$$. Какую длину должны иметь катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Пусть $$a$$ и $$b$$ — катеты прямоугольного треугольника. Тогда

$$a+b=40,$$

значит, $$b=40-a.$$

Площадь треугольника равна

$$S(a)=\frac12 ab=\frac12 a(40-a)=20a-\frac12 a^2.$$

Найдём максимум этой функции:

$$S'(a)=20-a.$$

Приравняем производную к нулю:

$$20-a=0,$$

$$a=20.$$

Тогда

$$b=40-20=20.$$

Следовательно, наибольшая площадь будет у равнобедренного прямоугольного треугольника, у которого оба катета равны $$20$$.

Ответ: $$20$$ и $$20$$.