Упр.972 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Из всех прямоугольных треугольников, у которых сумма одного катета и гипотенузы равна $$l$$, найти треугольник с наибольшей площадью.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — катеты, $$c$$ — гипотенуза. По условию

$$a+c=l,$$

откуда

$$c=l-a.$$

По теореме Пифагора

$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(l-a)^2-a^2}=\sqrt{l^2-2la}.$$

Тогда площадь треугольника равна

$$S(a)=\frac12 ab=\frac12 a\sqrt{l^2-2la}.$$

Найдём максимум функции $$S(a)$$:

$$S'(a)=\frac12\sqrt{l^2-2la}+\frac12 a\cdot \frac{-2l}{2\sqrt{l^2-2la}} =\frac{l^2-3la}{2\sqrt{l^2-2la}}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$\frac{l^2-3la}{2\sqrt{l^2-2la}}=0 \quad \Rightarrow \quad l^2-3la=0 \quad \Rightarrow \quad a=\frac l3.$$

Это точка максимума, так как при $$a<\frac l3$$ производная положительна, а при $$a>\frac l3$$ — отрицательна.

Тогда

$$c=l-a=l-\frac l3=\frac{2l}{3},$$

$$b=\sqrt{l^2-2l\cdot \frac l3} =\sqrt{\frac{l^2}{3}} =\frac{l}{\sqrt3}.$$

Следовательно, наибольшую площадь имеет прямоугольный треугольник с катетами $$\frac l3$$ и $$\frac{l}{\sqrt3}$$ и гипотенузой $$\frac{2l}{3}$$.

Ответ: $$a=\frac l3,\; b=\frac{l}{\sqrt3},\; c=\frac{2l}{3}.$$