Упр.971 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
- $$f(x)=2\sin x+\sin 2x$$ на отрезке $$[0;\tfrac{3\pi}{2}]$$;
- $$f(x)=2\cos x+\sin 2x$$ на отрезке $$[0;\pi]$$.
1) $$f(x)=2\sin x+\sin 2x,\quad x\in\left[0;\frac{3\pi}{2}\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\cos x+2\cos 2x=2(\cos x+\cos 2x).$$
Критические точки найдём из уравнения $$\cos x+\cos 2x=0.$$
Так как $$\cos 2x=2\cos^2 x-1,$$ получаем
$$\cos x+2\cos^2 x-1=0.$$
Положим $$y=\cos x.$$ Тогда
$$2y^2+y-1=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=\frac{-1+3}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{-1-3}{4}=-1.$$
Значит, на отрезке $$\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$ получаем точки $$x=\frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2}$$ и проверяем значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f(0)=2\sin 0+\sin 0=0,$$
$$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{2\pi}{3}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},$$
$$f(\pi)=2\sin\pi+\sin 2\pi=0,$$
$$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{2}+\sin 3\pi=2\cdot(-1)+0=-2.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=-2,\qquad y_{\max}=\frac{3\sqrt3}{2}.$$
2) $$f(x)=2\cos x+\sin 2x,\quad x\in[0;\pi].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2\sin x+2\cos 2x=2(\cos 2x-\sin x).$$
Критические точки найдём из уравнения $$\cos 2x-\sin x=0.$$
Так как $$\cos 2x=1-2\sin^2 x,$$ получаем
$$1-2\sin^2 x-\sin x=0,$$
$$2\sin^2 x+\sin x-1=0.$$
Положим $$y=\sin x.$$ Тогда
$$2y^2+y-1=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=\frac{-1+3}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{-1-3}{4}=-1.$$
На отрезке $$[0;\pi]$$ получаем точки $$x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \pi$$ и проверяем значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f(0)=2\cos 0+\sin 0=2,$$
$$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{3}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},$$
$$f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=2\cos\frac{5\pi}{6}+\sin\frac{5\pi}{3}=2\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)-\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{3\sqrt3}{2},$$
$$f(\pi)=2\cos\pi+\sin 2\pi=-2.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=-\frac{3\sqrt3}{2},\qquad y_{\max}=\frac{3\sqrt3}{2}.$$
Ответ
1) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=\frac{3\sqrt3}{2}.$$
2) $$y_{\min}=-\frac{3\sqrt3}{2},\ y_{\max}=\frac{3\sqrt3}{2}.$$
