Упр.970 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Построить график функции:
1) $$y=\frac{2}{x^2-4}$$;
2) $$y=\frac{2}{x^2+4}$$;
3) $$y=(x-1)^2(x+2)$$;
4) $$y=x(x-1)^3$$.
1) $$y=\frac{2}{x^2-4}=\frac{2}{(x-2)(x+2)}$$
Область определения: $$x\neq -2,\; x\neq 2.$$
Найдём производную:
$$y’=\left(\frac{2}{x^2-4}\right)’=-\frac{4x}{(x^2-4)^2}.$$
Стационарная точка: $$y’=0 \Rightarrow x=0.$$
$$y(0)=\frac{2}{-4}=-\frac12.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0)$$ и убывает на $$(0;2)\cup(2;+\infty).$$
Точка $$x=0$$ — точка максимума.
Горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
2) $$y=\frac{2}{x^2+4}$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Производная:
$$y’=\left(\frac{2}{x^2+4}\right)’=-\frac{4x}{(x^2+4)^2}.$$
Стационарная точка: $$y’=0 \Rightarrow x=0.$$
$$y(0)=\frac{2}{4}=\frac12.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и убывает на $$(0;+\infty).$$
Точка $$x=0$$ — точка максимума.
Горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
3) $$y=(x-1)^2(x+2)$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Производная:
$$y’=\bigl((x-1)^2(x+2)\bigr)’=2(x-1)(x+2)+(x-1)^2$$
$$y’=(x-1)(2x+4+x-1)=(x-1)(3x+3)=3(x-1)(x+1).$$
Стационарные точки:
$$3(x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1,\; x=1.$$
$$y(-1)=(-2)^2\cdot 1=4,\qquad y(1)=0.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$ и убывает на $$(-1;1).$$
Точка $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
4) $$y=x(x-1)^3$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Производная:
$$y’=\bigl(x(x-1)^3\bigr)’=(x-1)^3+3x(x-1)^2$$
$$y’=(x-1)^2(x-1+3x)=(x-1)^2(4x-1).$$
Стационарные точки:
$$(x-1)^2(4x-1)=0 \Rightarrow x=\frac14,\; x=1.$$
$$y\!\left(\frac14\right)=\frac14\left(\frac14-1\right)^3=\frac14\left(-\frac34\right)^3=-\frac{27}{256},\qquad y(1)=0.$$
Функция убывает на $$(-\infty;\frac14)$$ и возрастает на $$\left(\frac14;+\infty\right).$$
Точка $$x=\frac14$$ — точка минимума.
Ответ: графики функций построены по найденным областям определения, производным, точкам экстремума и асимптотам.
