Упр.968 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти точки экстремума функции:
- $$y=x\ln x$$;
- $$y=xe^x$$;
- $$y=\frac{25}{7-x}-\frac{9}{3-x}$$.
1) $$y=x\ln x$$
Найдём производную:
$$y’=(x\ln x)’=\ln x+1.$$
Критическая точка находится из уравнения
$$\ln x+1=0,$$
откуда
$$\ln x=-1,\qquad x=e^{-1}=\frac1e.$$
Область определения функции: $$x>0.$$
При $$0<x<\frac1e$$ имеем $$\ln x+1<0,$$ а при $$x>\frac1e$$ — $$\ln x+1>0.$$ Значит, в точке $$x=\frac1e$$ функция меняет убывание на возрастание, то есть это точка минимума.
2) $$y=xe^x$$
Найдём производную:
$$y’=(xe^x)’=e^x+xe^x=e^x(1+x).$$
Так как $$e^x>0$$ при всех $$x,$$ то знак производной определяется множителем $$1+x.$$
Из уравнения
$$e^x(1+x)=0$$
получаем
$$x=-1.$$
При $$x<-1$$ производная отрицательна, а при $$x>-1$$ положительна. Следовательно, в точке $$x=-1$$ функция имеет минимум.
3) $$y=\frac{25}{7-x}-\frac{9}{3-x}$$
Область определения: $$x\ne 7,\; x\ne 3.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{25}{(7-x)^2}-\frac{9}{(3-x)^2}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$y’=\frac{25(3-x)^2-9(7-x)^2}{(7-x)^2(3-x)^2} =\frac{25(x^2-6x+9)-9(x^2-14x+49)}{(7-x)^2(3-x)^2}$$
$$=\frac{25x^2-150x+225-9x^2+126x-441}{(7-x)^2(3-x)^2} =\frac{16x^2-24x-216}{(7-x)^2(3-x)^2}.$$
Так как знаменатель положителен при всех допустимых $$x,$$ знак производной определяется числителем:
$$16x^2-24x-216=0,$$
$$2x^2-3x-27=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-27)=9+216=225,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 15}{4}.$$
Отсюда
$$x_1=-3,\qquad x_2=\frac92.$$
Поскольку коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$16x^2-24x-216>0$$
при $$x<-3$$ и $$x>\frac92,$$ а
$$16x^2-24x-216<0$$
при $$-3<x<\frac92.$$
Значит, в точке $$x=-3$$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума, а в точке $$x=\frac92$$ — с минуса на плюс, это точка минимума.
Ответ: 1) $$x=\frac1e$$ — точка минимума; 2) $$x=-1$$ — точка минимума; 3) $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=\frac92$$ — точка минимума.
