Упр.968 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) y=xlnx;
2) y=xex;
3) y=25/(7-x) — 9/(3-x).

Подробный ответ

$$y=x\ln x$$
Найдём производную:
$$y’=(x\ln x)’=\ln x+1.$$
Приравняем производную к нулю:
$$\ln x+1=0,$$
$$\ln x=-1,$$
$$x=e^{-1}=\frac{1}{e}.$$
Область определения: $$x>0.$$
Проверим знак производной:
$$y’=\ln x+1<0 \text{ при } 0<x<\frac{1}{e},$$
$$y’=\ln x+1>0 \text{ при } x>\frac{1}{e}.$$
Значит, в точке $$x=\frac{1}{e}$$ функция меняет убывание на возрастание, то есть это точка минимума.
$$y=xe^x$$
Найдём производную:
$$y’=(xe^x)’=e^x+xe^x=e^x(1+x).$$
Приравняем производную к нулю:
$$e^x(1+x)=0.$$
Так как $$e^x>0$$ при любых $$x,$$ получаем:
$$1+x=0,$$
$$x=-1.$$
Проверим знак производной:
$$y'<0 \text{ при } x<-1,\qquad y’>0 \text{ при } x>-1.$$
Следовательно, $$x=-1$$ — точка минимума.
$$y=\frac{25}{7-x}-\frac{9}{3-x}$$
Область определения: $$x\neq 7,\; x\neq 3.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{25}{(7-x)^2}-\frac{9}{(3-x)^2}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$ y’=\frac{25(3-x)^2-9(7-x)^2}{(7-x)^2(3-x)^2}. $$
Раскроем скобки в числителе:
$$ 25(3-x)^2-9(7-x)^2 =25(x^2-6x+9)-9(x^2-14x+49) $$
$$ =25x^2-150x+225-9x^2+126x-441 =16x^2-24x-216. $$
Тогда
$$ y’=\frac{16x^2-24x-216}{(7-x)^2(3-x)^2} =\frac{8(2x^2-3x-27)}{(7-x)^2(3-x)^2}. $$
Так как знаменатель положителен при $$x\neq 3,7,$$ знак производной определяется числителем:
$$2x^2-3x-27=0.$$
$$D=9+216=225,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 15}{4}.$$
Получаем:
$$x_1=-3,\qquad x_2=\frac{9}{2}.$$
Поскольку коэффициент при $$x^2$$ положителен, то
$$y’>0 \text{ при } x<-3 \text{ и } x>\frac{9}{2},$$
$$y'<0 \text{ при } -3<x<\frac{9}{2}.$$
Значит, в точке $$x=-3$$ — максимум, а в точке $$x=\frac{9}{2}$$ — минимум.