Упр.964 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Из всех равнобедренных треугольников с периметром $$p$$ найти треугольник с наибольшей площадью.
Пусть $$x$$ — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, а $$a$$ — длина основания. Тогда
$$2x+a=p,\qquad a=p-2x.$$
Высота, опущенная на основание, равна
$$h=\sqrt{x^2-\left(\frac a2\right)^2}=\sqrt{x^2-\left(\frac{p-2x}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{4px-p^2}}{2}.$$
Площадь треугольника как функция $$x$$:
$$S(x)=\frac12 ah=\frac12(p-2x)\cdot \frac{\sqrt{4px-p^2}}{2}=\frac{(p-2x)\sqrt{4px-p^2}}{4}.$$
Найдём производную:
$$S'(x)=\frac14\left((p-2x)’\sqrt{4px-p^2}+(p-2x)\left(\sqrt{4px-p^2}\right)’\right)$$
$$S'(x)=\frac14\left(-2\sqrt{4px-p^2}+(p-2x)\cdot \frac{4p}{2\sqrt{4px-p^2}}\right)$$
$$S'(x)=\frac{p(p-3x)}{\sqrt{4px-p^2}}.$$
Так как знаменатель положителен на области определения, знак производной определяется выражением $$p-3x$$. Следовательно, $$S(x)$$ возрастает при $$x<\frac p3$$ и убывает при $$x>\frac p3$$. Значит, максимум площади достигается при
$$x=\frac p3.$$
Тогда
$$a=p-2x=p-\frac{2p}{3}=\frac p3.$$
Итак, треугольник с наибольшей площадью — равносторонний, со стороной $$\frac p3$$.
Ответ: равносторонний треугольник со стороной $$\frac p3$$.
