Упр.963 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$, а его периметр равен $$P$$. Тогда

$$2a+2b=P,$$

откуда

$$b=\frac{P}{2}-a.$$

Диагональ прямоугольника:

$$d=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac{P}{2}-a\right)^2}.$$

Преобразуем выражение под корнем:

$$d=\sqrt{a^2+\frac{P^2}{4}-Pa+a^2}=\sqrt{2a^2-Pa+\frac{P^2}{4}}.$$

Так как функция $$\sqrt{x}$$ возрастает, достаточно найти минимум выражения

$$u(a)=2a^2-Pa+\frac{P^2}{4}.$$

Это квадратичная функция, её минимум достигается в вершине параболы:

$$a=\frac{P}{4}.$$

Тогда

$$b=\frac{P}{2}-\frac{P}{4}=\frac{P}{4}.$$

Следовательно, наименьшую диагональ имеет прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат.

Ответ

Наименьшую диагональ имеет квадрат.