Упр.962 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
- $$f(x)=x^3-6x^2+9$$ на отрезке $$[-2;2]$$;
- $$f(x)=x^3+6x^2+9x$$ на отрезке $$[-4;0]$$;
- $$f(x)=x^4-2x^2-3$$ на отрезке $$[-4;3]$$;
- $$f(x)=x^4-8x^2+5$$ на отрезке $$[-3;2]$$.
$$f(x)=x^3-6x^2+9,\quad x\in[-2;2].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=4.$$ На отрезке $$[-2;2]$$ лежит только $$x=0.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(-2)=(-2)^3-6\cdot(-2)^2+9=-8-24+9=-23,$$
$$f(0)=0^3-6\cdot0^2+9=9,$$
$$f(2)=2^3-6\cdot2^2+9=8-24+9=-7.$$
Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-23,$$ а наибольшее — $$9.$$
$$f(x)=x^3+6x^2+9x,\quad x\in[-4;0].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2+12x+9=3(x^2+4x+3)=3(x+1)(x+3).$$
Критические точки: $$x=-3$$ и $$x=-1.$$ Обе принадлежат отрезку $$[-4;0].$$
Вычислим значения функции:
$$f(-4)=(-4)^3+6\cdot(-4)^2+9\cdot(-4)=-64+96-36=-4,$$
$$f(-3)=(-3)^3+6\cdot(-3)^2+9\cdot(-3)=-27+54-27=0,$$
$$f(-1)=(-1)^3+6\cdot(-1)^2+9\cdot(-1)=-1+6-9=-4,$$
$$f(0)=0.$$
Значит, $$y_{\min}=-4,$$ $$y_{\max}=0.$$
$$f(x)=x^4-2x^2+3,\quad x\in[-4;3].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$ Все они лежат на отрезке $$[-4;3].$$
Вычислим значения функции:
$$f(-4)=(-4)^4-2\cdot(-4)^2+3=256-32+3=227,$$
$$f(-1)=(-1)^4-2\cdot(-1)^2+3=1-2+3=2,$$
$$f(0)=0^4-2\cdot0^2+3=3,$$
$$f(1)=1^4-2\cdot1^2+3=1-2+3=2,$$
$$f(3)=3^4-2\cdot3^2+3=81-18+3=66.$$
Следовательно, $$y_{\min}=2,$$ $$y_{\max}=227.$$
$$f(x)=x^4-8x^2+5,\quad x\in[-3;2].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2).$$
Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2.$$ Все они принадлежат отрезку $$[-3;2].$$
Вычислим значения функции:
$$f(-3)=(-3)^4-8\cdot(-3)^2+5=81-72+5=14,$$
$$f(-2)=(-2)^4-8\cdot(-2)^2+5=16-32+5=-11,$$
$$f(0)=0^4-8\cdot0^2+5=5,$$
$$f(2)=2^4-8\cdot2^2+5=16-32+5=-11.$$
Значит, $$y_{\min}=-11,$$ $$y_{\max}=14.$$
