Упр.960 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Построить график функции:
1) $$y=\frac{x^3}{3}+3x^2$$;
2) $$y=-\frac{x^4}{4}+x^2$$.
1) $$y=\frac{x^3}{3}+3x^2$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’ = x^2+6x = x(x+6).$$
Стационарные точки:
$$x(x+6)=0 \Rightarrow x_1=-6,\; x_2=0.$$
Вычислим значения функции в этих точках:
$$f(-6)=\frac{(-6)^3}{3}+3\cdot(-6)^2=-72+108=36,$$
$$f(0)=0.$$
Исследуем знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-6)\cup(0;+\infty),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in(-6;0).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-6)\cup(0;+\infty),$$ убывает на $$(-6;0).$$
Точка $$x=-6$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
График проходит через точки $$(-6;36)$$ и $$(0;0)$$ и имеет указанные промежутки возрастания и убывания.
2) $$y=-\frac{x^4}{4}+x^2$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=-x^3+2x=x(2-x^2)=x(\sqrt2-x)(\sqrt2+x).$$
Стационарные точки:
$$x_1=-\sqrt2,\quad x_2=0,\quad x_3=\sqrt2.$$
Вычислим значения функции:
$$f(\pm\sqrt2)=-\frac{(\pm\sqrt2)^4}{4}+(\pm\sqrt2)^2=-\frac{4}{4}+2=1,$$
$$f(0)=0.$$
Исследуем знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-\sqrt2)\cup(0;\sqrt2),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in(-\sqrt2;0)\cup(\sqrt2;+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt2)\cup(0;\sqrt2),$$ убывает на $$(-\sqrt2;0)\cup(\sqrt2;+\infty).$$
Точки $$x=\pm\sqrt2$$ — точки максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
Для построения графика отметим точки $$(-\sqrt2;1),\ (0;0),\ (\sqrt2;1)$$ и учтём симметрию относительно оси $$Oy$$.
Ответ: построены графики функций $$y=\frac{x^3}{3}+3x^2$$ и $$y=-\frac{x^4}{4}+x^2$$ по найденным опорным точкам, промежуткам возрастания и убывания.
