Упр.959 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:

1. $$y=x^5-2{,}5x^2+3$$;
2. $$y=0{,}2x^5-4x^2-3$$.

1) $$y=x^5-2{,}5x^2+3$$

Найдём производную:

$$y’=(x^5-2{,}5x^2+3)’=5x^4-5x=5x(x^3-1)=5x(x-1)(x^2+x+1).$$

Критические точки:

$$y’=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=1.$$

Исследуем знак производной. Так как $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x,$$ то знак $$y’$$ определяется множителем $$x(x-1).$$

Получаем:

при $$x<0$$ имеем $$y’>0,$$ при $$0<x<1$$ имеем $$y'<0,$$ при $$x>1$$ имеем $$y’>0.$$

Значит, в точке $$x=0$$ — максимум, а в точке $$x=1$$ — минимум.

Вычислим значения функции:

$$y(0)=0-0+3=3,$$

$$y(1)=1-2{,}5+3=1{,}5.$$

2) $$y=0{,}2x^5-4x^2-3$$

Найдём производную:

$$y’=(0{,}2x^5-4x^2-3)’=x^4-8x=x(x^3-8)=x(x-2)(x^2+2x+4).$$

Критические точки:

$$y’=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=2.$$

Так как $$x^2+2x+4>0$$ при всех $$x,$$ знак $$y’$$ определяется множителем $$x(x-2).$$

Получаем:

при $$x<0$$ имеем $$y’>0,$$ при $$0<x<2$$ имеем $$y'<0,$$ при $$x>2$$ имеем $$y’>0.$$

Следовательно, в точке $$x=0$$ — максимум, а в точке $$x=2$$ — минимум.

Вычислим значения функции:

$$y(0)=-3,$$

$$y(2)=0{,}2\cdot 2^5-4\cdot 2^2-3=0{,}2\cdot 32-16-3=6{,}4-19=-12{,}6.$$

Ответ

1) $$x=0$$ — точка максимума, $$y(0)=3$$; $$x=1$$ — точка минимума, $$y(1)=1{,}5.$$

2) $$x=0$$ — точка максимума, $$y(0)=-3$$; $$x=2$$ — точка минимума, $$y(2)=-12{,}6.$$