Упр.958 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = х3 — 4х2;
2) у = 3х4 — 4х3.

1. $$y=x^3-4x^2$$

   Найдём производную:

   $$y’=(x^3-4x^2)’=3x^2-8x=x(3x-8).$$

   Критические точки получаем из уравнения $$y’=0$$:

   $$x(3x-8)=0,$$

   откуда

   $$x=0,\quad x=\frac{8}{3}.$$

   Исследуем знак производной:

   при $$x<0$$ имеем $$y’>0$$, при $$0<x<\frac{8}{3}$$ имеем $$y'<0$$, при $$x>\frac{8}{3}$$ имеем $$y’>0.$$

   Значит, в точке $$x=0$$ функция имеет максимум, а в точке $$x=\frac{8}{3}$$ — минимум.

2. $$y=3x^4-4x^3$$

   Найдём производную:

   $$y’=(3x^4-4x^3)’=12x^3-12x^2=12x^2(x-1).$$

   Критические точки:

   $$12x^2(x-1)=0,$$

   откуда

   $$x=0,\quad x=1.$$

   Так как $$12x^2\ge 0$$, знак производной определяется множителем $$x-1$$. При $$x<1$$ имеем $$y'<0$$, при $$x>1$$ имеем $$y’>0.$$

   Следовательно, в точке $$x=1$$ функция имеет минимум, а $$x=0$$ — стационарная точка, не являющаяся точкой экстремума.

Ответ

1) $$x=0$$ — точка максимума, $$x=\frac{8}{3}$$ — точка минимума.

2) $$x=1$$ — точка минимума.