Упр.958 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти точки экстремума функции:

1. $$y=x^3-4x^2$$;
2. $$y=3x^4-4x^3$$.

1) $$y=x^3-4x^2$$

Найдём производную:

$$y’=(x^3-4x^2)’=3x^2-8x=x(3x-8).$$

Критические точки найдём из уравнения $$y’=0$$:

$$x(3x-8)=0,$$

откуда

$$x=0,\qquad x=\frac{8}{3}.$$

Исследуем знак производной:

при $$x<0$$ имеем $$y’>0,$$ при $$0<x<\frac{8}{3}$$ имеем $$y'<0,$$ при $$x>\frac{8}{3}$$ имеем $$y’>0.$$

Значит, в точке $$x=0$$ функция имеет максимум, а в точке $$x=\frac{8}{3}$$ — минимум.

2) $$y=3x^4-4x^3$$

Найдём производную:

$$y’=(3x^4-4x^3)’=12x^3-12x^2=12x^2(x-1).$$

Критические точки найдём из уравнения $$y’=0$$:

$$12x^2(x-1)=0,$$

откуда

$$x=0,\qquad x=1.$$

Так как $$12x^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$x-1$$. При $$x<1$$ производная не положительна, а при $$x>1$$ положительна. Следовательно, в точке $$x=1$$ функция имеет минимум, а $$x=0$$ — стационарная точка без экстремума.

Ответ

1) $$x=0$$ — точка максимума, $$x=\frac{8}{3}$$ — точка минимума.
2) $$x=1$$ — точка минимума.