Упр.956 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти интервалы возрастания и убывания функции:
   
   1) $$y=2x^3+3x^2-2$$;
   
   2) $$y=\frac{2x^3}{3}-x^2-4x+5$$;
   
   3) $$y=\frac{3}{x}-1$$;
   
   4) $$y=\frac{2}{x-3}$$.

1) $$y=2x^3+3x^2-2$$

Найдём производную:

$$y’=(2x^3+3x^2-2)’=6x^2+6x=6x(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=0.$$

Исследуем знак производной:

$$\begin{aligned} y’>0 \quad \text{при} \quad x<-1 \ \text{и} \ x>0,\\ y'<0 \quad \text{при} \quad -1<x<0. \end{aligned}$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(0;+\infty)$$ и убывает на $$(-1;0).$$

2) $$y=\frac{2}{3}x^3-x^2-4x+5$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{2}{3}x^3-x^2-4x+5\right)’=2x^2-2x-4=2(x^2-x-2)=2(x+1)(x-2).$$

Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=2.$$

Исследуем знак производной:

$$\begin{aligned} y’>0 \quad \text{при} \quad x<-1 \ \text{и} \ x>2,\\ y'<0 \quad \text{при} \quad -1<x<2. \end{aligned}$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$$ и убывает на $$(-1;2).$$

3) $$y=\frac{3}{x}-1$$

Область определения: $$x\neq 0.$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{3}{x}-1\right)’=-\frac{3}{x^2}.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\neq 0,$$ то $$y'<0$$ на всей области определения.

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty).$$

4) $$y=\frac{2}{x-3}$$

Область определения: $$x\neq 3.$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{2}{x-3}\right)’=-\frac{2}{(x-3)^2}.$$

Так как $$(x-3)^2>0$$ при $$x\neq 3,$$ то $$y'<0$$ на всей области определения.

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;3)$$ и $$(3;+\infty).$$

Ответ

1) возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(0;+\infty),$$ убывает на $$(-1;0);$$

2) возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(2;+\infty),$$ убывает на $$(-1;2);$$

3) убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty);$$

4) убывает на $$(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$