Упр.955 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти точки перегиба функции $$f(x)$$, если:
   1) $$f(x)=\cos x$$, $$-\pi2) $$f(x)=x^5-80x^2$$;
   3) $$f(x)=12x^3-24x^2+12x$$;
   4) $$f(x)=\sin x-\frac{1}{2}\sin 2x$$, $$-\pi

1) $$f(x)=\cos x,\quad -\pi<x<\pi$$

Найдём вторую производную:

$$f'(x)=-\sin x,$$

$$f»(x)=-\cos x.$$

Точки перегиба находятся из уравнения $$f»(x)=0$$:

$$-\cos x=0,$$

$$\cos x=0,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$-\pi<x<\pi$$ получаем:

$$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}.$$

2) $$f(x)=x^5-80x^2$$

Найдём вторую производную:

$$f'(x)=5x^4-160x,$$

$$f»(x)=20x^3-160.$$

Решим уравнение $$f»(x)=0$$:

$$20x^3-160=0,$$

$$x^3=8,$$

$$x=2.$$

При переходе через $$x=2$$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба.

3) $$f(x)=12x^3-24x^2+12x$$

Найдём вторую производную:

$$f'(x)=36x^2-48x+12,$$

$$f»(x)=72x-48.$$

Решим уравнение $$f»(x)=0$$:

$$72x-48=0,$$

$$3x-2=0,$$

$$x=\frac{2}{3}.$$

При переходе через $$x=\frac{2}{3}$$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба.

4) $$f(x)=\sin x-\frac12\sin 2x,\quad -\pi<x<\pi$$

Найдём вторую производную:

$$f'(x)=\cos x-\cos 2x,$$

$$f»(x)=-\sin x+2\sin 2x.$$

Преобразуем:

$$f»(x)=2\sin 2x-\sin x=4\sin x\cos x-\sin x=\sin x(4\cos x-1).$$

Решим уравнение $$f»(x)=0$$:

$$\sin x(4\cos x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 4\cos x-1=0.$$

На промежутке $$-\pi<x<\pi$$ из первого уравнения получаем только $$x=0$$, а из второго:

$$\cos x=\frac14,$$

$$x=\pm \arccos\frac14.$$

При этих значениях вторая производная меняет знак, значит, это точки перегиба.

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}$$; 2) $$x=2$$; 3) $$x=\frac{2}{3}$$; 4) $$x=\pm\arccos\frac14$$.