Упр.954 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости вниз функции $$f(x)$$, если:
- $$f(x)=(x+1)^4$$;
- $$f(x)=x^4-6x^2+4$$;
- $$f(x)=(x^2-3x+2)e^x$$;
- $$f(x)=x^3-6x\ln x$$.
Для выпуклости функции используем признак по второй производной:
если $$f»(x)>0,$$ то функция выпукла вниз; если $$f»(x)<0,$$ то функция выпукла вверх.
$$f(x)=(x+1)^4$$
Найдём вторую производную:
$$f'(x)=4(x+1)^3,$$
$$f»(x)=12(x+1)^2.$$
Так как $$12(x+1)^2>0$$ при всех $$x\neq -1,$$ то функция выпукла вниз на промежутках
$$(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$
$$f(x)=x^4-6x^2+4$$
Найдём вторую производную:
$$f'(x)=4x^3-12x,$$
$$f»(x)=12x^2-12=12(x^2-1)=12(x-1)(x+1).$$
Исследуем знак:
$$f»(x)>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>1,$$
$$f»(x)<0 \text{ при } -1<x<1.$$
Значит, функция выпукла вниз на
$$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$
а выпукла вверх на
$$(-1;1).$$
$$f(x)=(x^2-3x+2)e^x$$
Найдём вторую производную:
$$f'(x)=(2x-3)e^x+(x^2-3x+2)e^x=e^x(x^2-x-1),$$
$$f»(x)=e^x(x^2-x-1)+e^x(2x-1)=e^x(x^2+x-2).$$
Так как $$e^x>0$$ при всех $$x,$$ знак $$f»(x)$$ определяется выражением $$x^2+x-2=(x+2)(x-1).$$
Тогда
$$f»(x)>0 \text{ при } x<-2 \text{ и } x>1,$$
$$f»(x)<0 \text{ при } -2<x<1.$$
Следовательно, функция выпукла вниз на
$$(-\infty;-2)\cup(1;+\infty),$$
а выпукла вверх на
$$(-2;1).$$
$$f(x)=x^3-6x\ln x$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём вторую производную:
$$f'(x)=3x^2-6\ln x-6,$$
$$f»(x)=6x-\frac{6}{x}=6\left(x-\frac{1}{x}\right)=\frac{6(x^2-1)}{x}.$$
При $$x>0$$ знак $$f»(x)$$ совпадает со знаком числителя $$x^2-1=(x-1)(x+1).$$
Поэтому
$$f»(x)>0 \text{ при } x>1,$$
$$f»(x)<0 \text{ при } 0<x<1.$$
Значит, функция выпукла вниз на
$$(1;+\infty),$$
а выпукла вверх на
$$(0;1).$$
Ответ
1) выпукла вниз на $$(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$$;
2) выпукла вниз на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$ выпукла вверх на $$(-1;1)$$;
3) выпукла вниз на $$(-\infty;-2)\cup(1;+\infty),$$ выпукла вверх на $$(-2;1)$$;
4) выпукла вниз на $$(1;+\infty),$$ выпукла вверх на $$(0;1).$$
