Упр.952 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Из трёх досок одинаковой ширины сколачивается жёлоб. При каком угле наклона боковых стенок к основанию площадь поперечного сечения жёлоба будет наибольшей?

Пусть $$a$$ — ширина каждой доски, а $$\varphi$$ — угол наклона боковых стенок к основанию, где $$0<\varphi<\frac{\pi}{2}$$.

Тогда высота жёлоба равна $$a\sin\varphi$$, а верхнее основание трапеции:

$$a+2a\cos\varphi.$$

Площадь поперечного сечения жёлоба:

$$S(\varphi)=\frac{1}{2}\cdot a\sin\varphi\cdot \bigl(a+a+2a\cos\varphi\bigr)=a^2\left(\sin\varphi+\sin\varphi\cos\varphi\right).$$

Найдём максимум функции:

$$S'(\varphi)=a^2\left(\cos\varphi+\cos 2\varphi\right).$$

При максимуме производная равна нулю:

$$\cos\varphi+\cos 2\varphi=0.$$

Используем формулу $$\cos 2\varphi=2\cos^2\varphi-1$$:

$$\cos\varphi+2\cos^2\varphi-1=0.$$

Положим $$t=\cos\varphi$$. Тогда

$$2t^2+t-1=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$t_1=\frac{-1+3}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{-1-3}{4}=-1.$$

Так как $$0<\varphi<\frac{\pi}{2}$$, то $$\cos\varphi>0$$, значит подходит только

$$\cos\varphi=\frac12.$$

Отсюда

$$\varphi=\frac{\pi}{3}.$$

Угол наклона боковых стенок к основанию равен

$$\frac{\pi}{2}-\varphi=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{6}$$.