Упр.950 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Из всех прямоугольников, у которых одна вершина лежит на оси \(O_x\), вторая — на положительной полуоси \(O_y\), третья — в начале координат, а четвёртая — на параболе $$y=3-x^2$$, выбран прямоугольник с наибольшей площадью. Найти эту площадь.

Обозначим через $$x$$ абсциссу вершины прямоугольника в первой четверти. Тогда его высота равна $$y=3-x^2$$, а ширина — $$x$$.

Площадь прямоугольника:

$$S(x)=x(3-x^2)=3x-x^3,$$

где $$0<x<\sqrt{3}$$.

Найдём максимум функции $$S(x)$$:

$$S'(x)=3-3x^2=3(1-x^2).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$3(1-x^2)=0,$$

$$x=1$$

(значение $$x=-1$$ не подходит, так как $$x>0$$).

Тогда

$$S_{\max}=S(1)=1\cdot(3-1)=2.$$

Ответ

$$2$$