Упр.949 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 949 Равнобедренные треугольники описаны около квадрата со стороной а так, что одна сторона квадрата лежит на основании треугольника (рис. 142). Обозначая ВК = х, найти такое значение х, при котором площадь треугольника наименьшая. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 949 1111

Пусть $$BK=x$$. Тогда высота треугольника равна

$$BD=BK+KD=x+a.$$

Так как $$MN \parallel AC$$, то треугольники $$BMN$$ и $$BAC$$ подобны. Поэтому

$$\frac{AC}{MN}=\frac{BD}{BK}=\frac{x+a}{x}.$$

Но $$MN=a$$, значит

$$AC=\frac{(x+a)\cdot a}{x}=a+\frac{a^2}{x}.$$

Площадь треугольника:

$$S(x)=\frac12 \cdot AC \cdot BD=\frac12\left(a+\frac{a^2}{x}\right)(x+a).$$

Упростим:

$$ S(x)=\frac12\left(ax+a^2+a^2+\frac{a^3}{x}\right) = a^2+\frac{ax}{2}+\frac{a^3}{2x}. $$

Найдём производную:

$$ S'(x)=\frac{a}{2}-\frac{a^3}{2x^2} =\frac{a}{2}\left(1-\frac{a^2}{x^2}\right). $$

Приравниваем к нулю:

$$ \frac{a}{2}\left(1-\frac{a^2}{x^2}\right)=0 \quad \Rightarrow \quad 1-\frac{a^2}{x^2}=0 \quad \Rightarrow \quad x^2=a^2. $$

Так как $$x>0$$, получаем $$x=a$$. Это и есть точка минимума площади.

Ответ

$$BK=a$$.