Упр.948 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 948 Из квадратного листа картона со стороной а нужно сделать открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края (рис. 141). Какой должна быть высота коробки, чтобы её объём был наибольшим? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 948 1111

Пусть сторона вырезаемого квадрата равна $$x$$. Тогда высота коробки тоже равна $$x$$, а сторона основания после загибания краёв будет $$a-2x$$.

Объём коробки:

$$V(x)=x(a-2x)^2.$$

Рассмотрим эту функцию на промежутке $$0<x<\frac{a}{2}$$.

Найдём производную:

$$V'(x)=(a-2x)^2-4x(a-2x)$$

$$V'(x)=a^2-8ax+12x^2.$$

Приравняем производную к нулю:

$$12x^2-8ax+a^2=0.$$

Найдём корни уравнения:

$$D=(-8a)^2-4\cdot 12\cdot a^2=64a^2-48a^2=16a^2.$$

$$x_{1,2}=\frac{8a\pm 4a}{24}.$$

Отсюда

$$x_1=\frac{a}{6}, \qquad x_2=\frac{a}{2}.$$

Значение $$x=\frac{a}{2}$$ не подходит, так как при нём объём равен нулю. Значит, максимум объёма достигается при

$$x=\frac{a}{6}.$$

Ответ

$$\frac{a}{6}$$