Упр.946 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти наименьшее значение функции:

1. $$e^{3x}-3x$$ на интервале $$(-1;1)$$;
2. $$\frac{1}{x}+\ln x$$ на интервале $$(0;2)$$.

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=e^{3x}-3x$$ на интервале $$(-1;1).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3e^{3x}-3=3\bigl(e^{3x}-1\bigr).$$

Критическая точка определяется из уравнения

$$3\bigl(e^{3x}-1\bigr)=0,$$

откуда

$$e^{3x}=1,\qquad 3x=0,\qquad x=0.$$

При $$x<0$$ имеем $$e^{3x}<1,$$ значит $$f'(x)<0.$$
При $$x>0$$ имеем $$e^{3x}>1,$$ значит $$f'(x)>0.$$

Следовательно, в точке $$x=0$$ функция принимает наименьшее значение:

$$f(0)=e^0-3\cdot 0=1.$$

2) Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{x}+\ln x$$ на интервале $$\left(0;2\right).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x^2}.$$

Критическая точка:

$$\frac{x-1}{x^2}=0 \quad \Rightarrow \quad x=1.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x>0,$$ знак производной определяется числителем $$x-1$$:
при $$0<x<1$$ функция убывает, а при $$1<x<2$$ возрастает.

Значит, в точке $$x=1$$ достигается минимум:

$$f(1)=\frac{1}{1}+\ln 1=1+0=1.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$1$$.