Упр.946 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) е3х — 3х на интервале (-1; 1);
2) 1/x + ln х на интервале (0; 2).

1. $$f(x)=e^{3x}-3x,\quad x\in(-1;1).$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3e^{3x}-3=3\left(e^{3x}-1\right).$$

   При $$x<0$$ имеем $$e^{3x}<1$$, значит $$f'(x)<0$$. При $$x>0$$ имеем $$e^{3x}>1$$, значит $$f'(x)>0$$.

   Следовательно, функция убывает на $$(-1;0)$$ и возрастает на $$(0;1)$$, поэтому наименьшее значение достигается при $$x=0$$:

   $$f(0)=e^0-3\cdot 0=1.$$

2. $$f(x)=\frac{1}{x}+\ln x,\quad x\in(0;2).$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x^2}.$$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x>0$$, знак производной определяется числителем $$x-1$$. Значит, $$f'(x)<0$$ при $$0<x<1$$ и $$f'(x)>0$$ при $$1<x<2$$.

   Следовательно, функция убывает на $$(0;1)$$ и возрастает на $$(1;2)$$, поэтому наименьшее значение достигается при $$x=1$$:

   $$f(1)=\frac{1}{1}+\ln 1=1.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$1$$.