Упр.945 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольшее значение функции:
   1) $$3\sqrt{x}-x\sqrt{x}$$ на промежутке $$(0;+\infty)$$;
   2) $$3x-2x\sqrt{x}$$ на промежутке $$(0;+\infty)$$.

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=3\sqrt{x}-x\sqrt{x}, \quad x\in(0;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{2}\sqrt{x}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right).$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}=0,$$

$$1-x=0,$$

$$x=1.$$

Проверим знак производной: при $$0<x<1$$ имеем $$f'(x)>0,$$ а при $$x>1$$ имеем $$f'(x)<0.$$ Значит, в точке $$x=1$$ функция достигает наибольшего значения.

$$f(1)=3\cdot 1-1\cdot 1=2.$$

Ответ: $$2$$.

2) Рассмотрим функцию $$f(x)=3x-2x\sqrt{x}, \quad x\in(0;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3-2\cdot \frac{3}{2}\sqrt{x}=3-3\sqrt{x}=3(1-\sqrt{x}).$$

Приравняем производную к нулю:

$$1-\sqrt{x}=0,$$

$$\sqrt{x}=1,$$

$$x=1.$$

При $$0<x<1$$ имеем $$f'(x)>0,$$ а при $$x>1$$ имеем $$f'(x)<0.$$ Следовательно, в точке $$x=1$$ функция достигает наибольшего значения.

$$f(1)=3\cdot 1-2\cdot 1\cdot \sqrt{1}=3-2=1.$$

Ответ: $$1$$.