Упр.943 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Из всех прямоугольников, площадь которых равна $$9\ \text{см}^2$$, найти прямоугольник с наименьшим периметром.

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда

$$ab=9.$$

Выразим одну сторону через другую: пусть $$a=x$$, тогда

$$b=\frac{9}{x}, \qquad x>0.$$

Периметр прямоугольника равен

$$P=2(a+b)=2\left(x+\frac{9}{x}\right).$$

Найдём минимум функции $$P(x)$$ при $$x>0$$:

$$P'(x)=2\left(1-\frac{9}{x^2}\right).$$

Приравняем производную к нулю:

$$2\left(1-\frac{9}{x^2}\right)=0,$$

$$1-\frac{9}{x^2}=0,$$

$$x^2=9,$$

$$x=3 \quad (\text{так как } x>0).$$

Проверим знак производной: при $$0<x<3$$ имеем $$P'(x)<0$$, а при $$x>3$$ — $$P'(x)>0$$. Значит, при $$x=3$$ достигается минимум периметра.

Тогда

$$a=3,\qquad b=\frac{9}{3}=3.$$

Следовательно, искомый прямоугольник — квадрат со стороной $$3$$ см.

Ответ: квадрат со стороной $$3$$ см.