Упр.941 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 941 Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Пусть одно из положительных чисел равно $$x,$$ тогда второе равно $$\frac{625}{x}.$$

Тогда сумма квадратов этих чисел:

$$f(x)=x^2+\left(\frac{625}{x}\right)^2=x^2+\frac{625^2}{x^2}, \qquad x>0.$$

Найдём минимум функции:

$$f'(x)=2x-\frac{2\cdot 625^2}{x^3}=2\left(x-\frac{625^2}{x^3}\right).$$

Приравняем производную к нулю:

$$2\left(x-\frac{625^2}{x^3}\right)=0,$$

$$x-\frac{625^2}{x^3}=0,$$

$$x^4=625^2.$$

Так как $$625=25^2,$$ то

$$x^4=25^4,$$

откуда при $$x>0$$ получаем $$x=25.$$

Тогда второе число:

$$\frac{625}{25}=25.$$

Значит, наименьшая сумма квадратов получается при разложении

$$625=25\cdot 25.$$

Ответ

$$25 \cdot 25$$