Упр.941 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Пусть одно из чисел равно $$x>0,$$ тогда второе равно $$\frac{625}{x}.$$

Сумма квадратов этих чисел:

$$f(x)=x^2+\left(\frac{625}{x}\right)^2=x^2+\frac{625^2}{x^2}, \qquad x>0.$$

Найдём минимум функции:

$$f'(x)=2x-\frac{2\cdot 625^2}{x^3}=2\left(x-\frac{625^2}{x^3}\right).$$

Приравняем производную к нулю:

$$2\left(x-\frac{625^2}{x^3}\right)=0,$$

$$x-\frac{625^2}{x^3}=0,$$

$$x^4=625^2,$$

$$x^2=625,$$

$$x=25 \quad (\text{так как } x>0).$$

Тогда

$$y=\frac{625}{25}=25.$$

Следовательно, искомое разложение:

$$625=25\cdot 25.$$

Ответ: $$25\cdot 25.$$