Упр.939 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) $$f(x)=x^2+\frac{16}{x^2}$$ на промежутке $$(0;+\infty)$$;
2) $$f(x)=\frac{2}{x}-x^2$$ на промежутке $$(-\infty;0)$$.
1) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+\frac{16}{x^2}, \quad x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2x-\frac{32}{x^3}.$$
Приравняем её к нулю:
$$2x-\frac{32}{x^3}=0,$$
$$2x^4-32=0,$$
$$x^4=16,$$
$$x=2 \quad (\text{так как } x>0).$$
Проверим значение функции в этой точке:
$$f(2)=2^2+\frac{16}{2^2}=4+\frac{16}{4}=8.$$
При $$x\to 0+$$ и при $$x\to +\infty$$ значение функции стремится к бесконечности, значит найденная точка даёт минимум, а наибольшего значения на промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция не имеет.
2) Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{2}{x}-x^2, \quad x<0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{2}{x^2}-2x.$$
Приравняем её к нулю:
$$-\frac{2}{x^2}-2x=0,$$
$$-\frac{2(1+x^3)}{x^2}=0,$$
$$1+x^3=0,$$
$$x^3=-1,$$
$$x=-1.$$
Вычислим значение функции в этой точке:
$$f(-1)=\frac{2}{-1}-(-1)^2=-2-1=-3.$$
При $$x\to -\infty$$ и при $$x\to 0-$$ функция стремится к $$-\infty$$, значит в точке $$x=-1$$ достигается наибольшее значение, а наименьшего значения на промежутке $$(-\infty;0)$$ нет.
Ответ
1) $$y_{\min}=8,$$ $$y_{\max}$$ не существует.
2) $$y_{\max}=-3,$$ $$y_{\min}$$ не существует.
