Упр.938 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 1) $$f(x)=x^4-8x^2+5$$ на отрезке $$[-3;2]$$; 2) $$f(x)=x+\frac{1}{x}$$ на отрезке $$[-2;-0{,}5]$$; 3) $$f(x)=\sin x+\cos x$$ на отрезке $$[\pi;\frac{3\pi}{2}]$$.
1) $$f(x)=x^4-8x^2+5,\quad x\in[-3;2].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2).$$
Критические точки на отрезке: $$x=-2,\;0,\;2.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f(-3)=81-72+5=14,$$
$$f(-2)=16-32+5=-11,$$
$$f(0)=5,$$
$$f(2)=16-32+5=-11.$$
Следовательно, на отрезке $$[-3;2]$$ наименьшее значение равно $$-11,$$ а наибольшее — $$14.$$
2) $$f(x)=x+\frac{1}{x},\quad x\in[-2;-0{,}5].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}.$$
Критические точки:
$$1-\frac{1}{x^2}=0 \;\Rightarrow\; x^2=1 \;\Rightarrow\; x=\pm1.$$
На данном отрезке лежит только $$x=-1.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(-2)=-2+\frac{1}{-2}=-2{,}5,$$
$$f(-1)=-1+\frac{1}{-1}=-2,$$
$$f(-0{,}5)=-0{,}5+\frac{1}{-0{,}5}=-2{,}5.$$
Значит, наименьшее значение равно $$-2{,}5,$$ а наибольшее — $$-2.$$
3) $$f(x)=\sin x+\cos x,\quad x\in\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\cos x-\sin x.$$
Критические точки:
$$\cos x-\sin x=0 \;\Rightarrow\; \tan x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
На отрезке $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$ лежит точка $$x=\frac{5\pi}{4}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(\pi)=\sin\pi+\cos\pi=0-1=-1,$$
$$f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\sin\frac{5\pi}{4}+\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}=-\sqrt2,$$
$$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\sin\frac{3\pi}{2}+\cos\frac{3\pi}{2}=-1+0=-1.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-\sqrt2,$$ а наибольшее — $$-1.$$
Ответ: 1) $$y_{\min}=-11,\; y_{\max}=14$$; 2) $$y_{\min}=-2{,}5,\; y_{\max}=-2$$; 3) $$y_{\min}=-\sqrt2,\; y_{\max}=-1$$.
