Упр.937 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=2x^3+3x^2-36x$$: 1) на отрезке $$[-4; 3]$$; 2) на отрезке $$[-2; 1]$$.

Найдём производную функции:

$$f(x)=2x^3+3x^2-36x$$

$$f'(x)=6x^2+6x-36=6(x^2+x-6)=6(x+3)(x-2)$$

Критические точки:

$$f'(x)=0 \Rightarrow x=-3,\; x=2$$

1) На отрезке $$[-4;3]$$

Проверим значения функции в концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку:

$$f(-4)=2\cdot(-4)^3+3\cdot(-4)^2-36\cdot(-4)=-128+48+144=64$$

$$f(-3)=2\cdot(-3)^3+3\cdot(-3)^2-36\cdot(-3)=-54+27+108=81$$

$$f(2)=2\cdot2^3+3\cdot2^2-36\cdot2=16+12-72=-44$$

$$f(3)=2\cdot3^3+3\cdot3^2-36\cdot3=54+27-108=-27$$

Следовательно, на отрезке $$[-4;3]$$:

$$f_{\min}=-44,\qquad f_{\max}=81$$

2) На отрезке $$[-2;1]$$

Критические точки $$-3$$ и $$2$$ в этот отрезок не входят, поэтому достаточно проверить концы отрезка:

$$f(-2)=2\cdot(-2)^3+3\cdot(-2)^2-36\cdot(-2)=-16+12+72=68$$

$$f(1)=2\cdot1^3+3\cdot1^2-36\cdot1=2+3-36=-31$$

Следовательно, на отрезке $$[-2;1]$$:

$$f_{\min}=-31,\qquad f_{\max}=68$$

Ответ

1) $$f_{\min}=-44,\; f_{\max}=81$$

2) $$f_{\min}=-31,\; f_{\max}=68$$